数学和逻辑的辩证关系：一致性、差异性和相互性

　　一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其他科学的工具，因此又常常同被人们称为工具性科学。
　　数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。
　　认识数学和逻辑的关系，应着重把握二者的辩证关系一致性、差异性和相互作用性。
　　（1）数学和逻辑具有一致性的关系。这是因为：
　　其一，数学和逻辑都是一门形式科学，数学是研究空间形式和数量关系结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，二者的研究对象都是高度抽象的结构，它们的定义、定理、原理、法则等都撇开了研究对象的具体事物的内容，而仅仅保留其形式和关系，是一种形式化的思想材料。
　　其二，数学和逻辑都具有严谨性，数学的科学性是靠推理论证的严密性和结论的确定性来得证的，逻辑也只有当它的推理论证严格而形成严谨的公理化系统时才形成科学。
　　其三，数学和逻辑的规则都是普遍有效的，因而二者都具有广泛的应用性。数学的应用自不待言，对逻辑而言，可以肯定地说哪里有思维哪里就有逻辑，一切科学都在应用逻辑。
　　（2）数学与逻辑也具有差异性。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是客观事物的空间形式与数量关系，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的空间形式与数量关系的特征，探索其规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真实性问题。
　　（3）数学和逻辑又具有很强的相互作用性关系。一方面数学的发展得益于逻辑。首先，数学是一门具有高度抽象性和严谨性的科学，它的公式、定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少可以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。再从数学或其某一分支的产生和发展来看，数学发展有其自身的规律，但它的发展阶段也是伴随着逻辑的发展而前进的，集中体现出人类思维和智慧的成果。数学理论的形成，需要有一个有关经验材料的积累过程，然后进入提炼整理阶段，再经过组织和演绎，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑（开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些）。
　　另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。数学理论的突破和数学方法的创新是推动逻辑发展的重要力量。从古典逻辑学到近现代逻辑学的产生和发展，中西方数学都做出了各自的独特贡献。数学方法与逻辑方法的融合，借用数学的方法来研究逻辑关系和问题，也使得两种学科的关系更加紧密。数理逻辑的诞生和发展便是明证。数理逻辑就是用数学方法即用人工语言研究概念、命题以及命题之间的关系，构成十分严密的符号系统，因此有人把数理逻辑叫作符号逻辑。逻辑发展史表明，逻辑是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现。如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用的话，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。
　　总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响，互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。