毕达哥拉斯学派：如何引起第一次数学危机、无理数的发现故事

　　古希腊的毕达哥拉斯学派是一个经由数学进入哲学的派别，该派的创始人是古希腊著名数学家毕达哥拉斯。我们今天所说的“勾股定理”，据说就是他最先发现的。所以，这个定理又被称为“毕达哥拉斯定理”。
　　在哲学主张上，毕达哥拉斯认为，世界的本原不是水、火、气等自然物质，而是数。因为，一切事物都有几何形状，而几何形状又与数字相对应：1是点，2是线，3是面，4是体。世界生成的过程就是由点到线，由线到面，由面到体，再由体产生出水、火、气、土等基本元素，最后生成世界万物。因此，数字先于事物而存在，是构成事物的基本单元。而且，数的规定性比“冷”“热”“湿”“干”等物理属性更加普遍，一个事物可以缺乏某一种物理属性，但却不能没有数的规定性。
　　在现实中，大概没人看见过“数”这个东西。但是，在毕达哥拉斯看来，正是因为它看不见、摸不着，才让人如此地迷恋。因为它是通过思维的抽象而获得的，并不经由观察。用罗素的话来说，数学带来的是那种“热情而动人的沉思”。而不假外物进行自由的沉思，正是哲学家的专利。对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人来说，这种沉思好像是很奇怪的。然而，对于那些时时体验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则是十分自然的，即使它是不真实的。
　　在毕达哥拉斯看来，经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正像音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。正是沿着这个思路，几何学深远地影响了哲学以及科学的方法，因为它向我们提供了纯粹的真理以及达到这个真理的途径。古希腊人所建立的几何学是从自明的或者被认为是自明的公理（比如，平行线不会相交）出发，依据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理（比如，三角形的内角和是180）。公理和定理被认为对于实际空间是正确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像能够发现实际世界中一切事物了。正是在这个意义上，柏拉图说上帝是一个几何学家。意思是说：上帝在制造这个世界时，仿佛处处都是按照几何学的原理来安排的。因此，在柏拉图开办的学园里，不懂数学的人是没有资格进来接受哲学教育的。伽利略也许说得更好：数学是上帝书写宇宙的文字。
　　但是，毕达哥拉斯学派发展到了最后，也遇到了难题。
　　这个难题可以说是致命性的，那就是无理数的发现。按照毕达哥拉斯数字和几何形状相对应的观点，由于当时所知的数仅限于自然数，这就意味着构成任何几何形状的线段都有公度。然而，毕达哥拉斯定理所规定的直角三角形的边长在很多情况下却是无公度的。比如，边长平方分别为1、2、3的三角形就是这样。当时人们并没有无理数的概念，长度为的边长就失去了相对应的数字单元。而毕达哥拉斯的数本原说，一个重要理由就是数的单元可构造一切事物的几何形状。
　　可是，随着毕达哥拉斯定理的发现而出现的无公度性却否认了这一理由。据说，这个现象是由毕达哥拉斯的弟子希帕索斯发现的。毕达哥拉斯为了维护自己的学说，竟然命令其信徒将希帕索斯偷偷地扔到了大海里淹死了。但是，矛盾的出现是无法掩盖的，据说毕达哥拉斯学派正是因为这一理论上的矛盾而解体的。