垂直于弦的直径的课程教学设计

　　第一课时（一）
　　教学目标：
　　（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
　　（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
　　（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
　　教学重点、难点：
　　重点：
　　垂径定理及应用；
　　从感性到理性的学习能力。
　　难点：垂径定理的证明。
　　教学学习活动设计：
　　（一）实验活动，提出问题：
　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。
　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。
　　通过演示实验观察感性理性引出垂径定理。
　　（二）垂径定理及证明：
　　已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。
　　求证：AEEB，，。
　　证明：连结OA、OB，则OAOB。又CDAB，直线CD是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合。因此，AEBE，，。从而得到圆的一条重要性质。
　　垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
　　CD为O的直径，CDABAEEB，
　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：
　　过圆心；
　　垂直于弦；
　　平分弦；
　　平分弦所对的优弧；
　　平分弦所对的劣弧。
　　加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。
　　（三）应用和训练
　　例1、已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。
　　分析：要求O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，而AEEBAB4cm。此时解RtAOE即可。
　　解：连结OA，作OEAB于E。
　　则AEEB。
　　AB8cm，AE4cm。
　　又OE3cm，
　　在RtAOE中，
　　（cm）。
　　O的半径为5cm。
　　说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系：rhd；r2d2（a2）2
　　例2、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证ACBD。（证明略）
　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成。
　　练习1：教材P78中练习1，2两道题。由学生分析思路，学生之间展开评价、交流。
　　指导学生归纳：构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距。
　　（四）小节与反思
　　教师组织学生进行：
　　知识：
　　（1）圆的轴对称性；
　　（2）垂径定理及应用。
　　方法：
　　（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；
　　（2）在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；
　　（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足
　　过圆心；
　　垂直于弦；则可得
　　平分弦；
　　平分弦所对的优弧；
　　平分弦所对的劣弧。
　　（五）作业
　　教材P84中11、12、13。
　　第二课时（二）
　　教学目标：
　　（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
　　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力。促进学生创造思维水平的发展和提高
　　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系。
　　教学重点、难点：
　　重点：
　　垂径定理的两个推论；
　　对推论的探究方法。
　　难点：垂径定理的推论1。
　　学习活动设计：
　　（一）分解定理（对定理的剖析）
　　1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
　　2、剖析：
　　（教师指导）
　　（二）新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
　　（包括原定理，一共有10种）
　　（三）探究新问题，归纳新结论：
　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧。
　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧。
　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
　　（4）圆的两条平行线所夹的弧相等。
　　（四）巩固练习：
　　练习1、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这句话对吗？为什么？
　　（在推论1（1）中，为什么要附加不是直径这一条件。）
　　练习2、填空：在O中，
　　（1）若MNAB，MN为直径，则，，；
　　（2）若ACBC，MN为直径，AB不是直径，则则，，；
　　（3）若MNAB，ACBC，则，，；
　　（4）若，MN为直径，则，，。
　　（此题目的：巩固定理和推论）
　　（五）应用、反思
　　例、四等分。
　　（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
　　教材P80中的第3题图，是典型的错误作。
　　此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解。培养学生的思维能力。
　　（六）小结：
　　知识：垂径定理的两个推论。
　　能力：
　　推论的研究方法；
　　平分弧的作图。
　　（七）作业：
　　第三课时
　　垂径定理及推论在解题中的应用
　　教学目的：
　　要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。
　　培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识。
　　通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
　　教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
　　教学难点：如何进行辅助线的添加
　　教学内容：
　　（一）复习
　　1垂径定理及其
　　推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：
　　直线过圆心；
　　垂直于弦；
　　平分弦；
　　平分弦所对的优弧；
　　平分弦所对的劣弧。可简记为：知2推3
　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
　　2应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
　　涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：rhd；r2d2（a2）2
　　3常添加的辅助线：（学生归纳）
　　作弦心距；
　　作半径。构造直角三角形
　　4可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据。
　　（二）应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
　　例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37。4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7。2米，求桥拱的半径（精确到0。1米）。
　　说明：
　　对学生进行爱国主义的教育；
　　应用题的解题思路：实际问题（转化，构造直角三角形）数学问题。
　　例2、已知：O的半径为5，弦ABCD，AB6，CD8。求：AB与CD间的距离。（让学生画图）
　　解：分两种情况：
　　（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
　　过点O作EFAB于E，连结OA、OC，
　　又ABCD，EFCD。（作辅助线是难点，学生往往作OEAB，OFAB，就得EFOEOF，错误的结论）
　　由EF过圆心O，EFAB，AB6，得AE3，
　　在RtOEA中，由勾股定理，得
　　同理可得：OF3
　　EFOEOF437。
　　（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
　　同（1）的方法可得：OE4，OF3。
　　说明：
　　此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；
　　培养学生作辅助线的方法和能力。
　　例3、已知：AB是O的弦，半径OCAB，AB24，OC15。求：BC的长。
　　解：（略，过O作OEAE于E，过B作BFOC于F，连结OB。BC）
　　说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系。
　　（三）应用训练：
　　P8l中1题。
　　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后。截面如图所示，若油面宽AB600mm，求油的最大深度。
　　学生分析，教师适当点拨。
　　分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决。
　　（四）小结：
　　1垂径定理及其推论的应用注意指明条件。
　　2应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用。
　　（五）作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题。
　　探究活动
　　直线MN与O交于点A、B，CD是O的直径，CEMN于E，DFMN于F，OHMN于H。
　　（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
　　（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由。