不等式的证明（三）

　　第四课时
　　教学目标
　　1掌握分析法证明不等式；
　　2理解分析法实质执果索因；
　　3提高证明不等式证法灵活性。
　　教学重点分析法
　　教学难点分析法实质的理解
　　教学方法启发引导式
　　教学活动
　　（一）导入新课
　　（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评
　　（学生活动）回答和思考教师提出的问题
　　问题1我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
　　问题2能否用比较法或综合法证明不等式：
　　〔点评〕在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法（板书课题）
　　设计意图：复习已学证明不等式的方法指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
　　激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式
　　（二）新课讲授
　　【尝试探索、建立新知】
　　（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系投影分析法证明不等式的概念
　　（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知
　　〔讲解〕综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式
　　问题1我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
　　问题2当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
　　问题3说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
　　点评从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立就是分析法的逻辑关系
　　〔投影〕分析法证明不等式的概念（见课本）
　　设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究建立新的知识；分析法证明不等式培养学习创新意识
　　【例题示范、学会应用】
　　（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题
　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证
　　例1求证
　　〔分析此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法
　　证明：（见课本）
　　〔点评〕证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难此例中，我们很难想到从入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此
　　例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
　　投影证法一：因为，所以、去分母，化为，就是由已知成立，所以求证的不等式成立
　　证法二：欲证，因为
　　只需证，
　　即证，
　　即证
　　因为成立，所以成立
　　（证法二正确，证法一错误错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误）
　　〔点评〕用分析法证明不等式的逻辑关系是：
　　（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
　　分析法是执果索因，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反用分析法证明时要注意书写格式分析法论证若A则B这个命题的书写格式是：
　　要证命题B为真，
　　只需证明为真，从而有
　　这只需证明为真，从而又有
　　这只需证明A为真
　　而已知A为真，故命题B必为真
　　要理解上述格式中蕴含的逻辑关系
　　〔投影〕例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
　　分析设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明：
　　证明：（见课本）
　　设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位掌
　　握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力
　　【课堂练习】
　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正点评练习中存在的问题
　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演
　　【字幕】练习1求证
　　2求证：
　　设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学
　　【分析归纳、小结解法】
　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法
　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记
　　1分析法是证明不等式的一种常用基本方法当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的
　　2用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式
　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法
　　（三）小结
　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识
　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记
　　本节课主要学习了用分析法证明不等式应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
　　通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用理解分析法和综合法是对立统一的两个方面有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程
　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识
　　（四）布置作业
　　1课本作业：P174、5
　　2思考题：若，求证
　　3研究性题：已知函数，，若、，且证明
　　设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题
　　（五）课后点评
　　教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态
　　本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法
　　在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构
　　作业答案：
　　思考题：
　　因为，故，所以成立
　　研究性题：令，，则：
　　，，
　　故原不等式等价于
　　由已知有。所以上式等价于，即。所以又等价于因为，上式成立，所以原不等式成立。
　　不等式的实际解释
　　题目：不等式：是正数，且，则。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有个单位的溶质，其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。
　　分析与解
　　1先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
　　设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有
　　2是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
　　3电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即
　　说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。