第七章三角形简介

　　课程教材研究所薛彬
　　三角形一章章节结构是与三角形有关的线段与三角形有关的角多边形及其内角和课题学习镶嵌这与以往的内容安排有所不同按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌
　　本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　7。1与三角形有关的线段2课时
　　7。2与三角形有关的角2课时
　　7。3多边形及其内角和2课时
　　7。4课题学习镶嵌2课时
　　数学活动
　　小结2课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）本章知识结构
　　本章知识结构框图如下：
　　（二）教科书内容
　　本章首先介绍三角形的有关概念和性质例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线又如，在知道三角形的三个内角的和等于180的基础上，了解这个结论成立的道理通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识另一方面，
　　这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识
　　以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形的内角和等于180得到的将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习
　　镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力
　　（三）课程学习目标
　　1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性
　　2了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
　　3了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式
　　4通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计
　　二、本章编写特点
　　（一）加强与实际的联系
　　三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念多边形概念的引入，也是类似处理的
　　三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性这些内容是通过如下的实际问题引入的：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条为什么要这样做呢？然后让学生通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中斜钉一根木条的道理除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子对于三角形的内角和等于180，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系
　　在本章的课题学习中，教科书从用地砖铺地引入镶嵌，进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计在编写时关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深
　　（二）加强与已学内容的联系
　　学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理
　　上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180可以启发学生得出说明这个结论正确的方法，而说明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义在编写时关注本章内容与已学内容的联系，帮助学生掌握本章所学内容另一方面，又注意让学生通过本章内容的学习，复习巩固已学的内容
　　（三）加强推理能力的培养
　　在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备为达到上述要求，在编写时注意了以下内容的处理：
　　（1）由两点之间，线段最短说明三角形两边的和大于第三边；
　　（2）由平行线的性质与平角的定义说明三角形的内角和等于180；
　　（3）由三角形的内角和等于180得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
　　（4）由三角形的内角和等于180得出多边形内角和公式；
　　（5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；
　　（6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面
　　上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论的过程
　　三、几个值得关注的问题
　　（一）把握好教学要求
　　与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习全等三角形一章时再介绍同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心
　　在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过三边对应相等的两个三角形全等，可进一步明白其中的道理说明三角形的内角和等于180有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握要明确本章仍是正式介绍证明的准备阶段，对推理的要求应循序渐进
　　（二）开展好课题学习
　　可以如下展开课题学习：
　　背景了解多边形覆盖平面问题来自实际
　　实验发现有些多边形能覆盖平面，有些则不能
　　（3）分析讨论多边形能覆盖平面的基本条件，发现问题与多边形的内角大小有密切关系，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析
　　（4）运用进行简单的镶嵌设计
　　首先引入用地砖铺地，用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并记下实验结果：
　　（1）用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）用正五边形不能镶嵌成一个平面图案
　　（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案
　　（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案，用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案（图2）
　　观察上述实验结果，得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条件：
　　（1）拼接在同一个点（例如图2中的点o）的各个角的和恰好等于360（周角）；
　　（2）相邻的多边形有公共边（例如图2中的oa两侧的多边形有公共边oa）
　　运用上述结论解释实验结果，例如，三角形的内角和等于180，在图2中，123180因此，把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2），一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360，并且使边长相等的两条边贴在一起于是，用三角形能镶嵌成一个平面图案又如，由多边形内角和公式，可以得到五边形的内角和等于
　　（52）180540
　　因此，正五边形的每个内角等于
　　5405108，
　　360不是108的整数倍，也就是说用一些108的角拼不成360的角因此，用正五边形不能镶嵌成一个平面图案
　　最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用