一道北京中考数学的大题，题型灵活，考察学生分析问题的能力
原创 2022-01-12 14:38 ·
现在中考题目越来越灵活，需要考生具有短时间内分析解决具体问题的能力。这是北京市中考数学的一道大题，题型灵活，难道不小。
如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M。
（1），若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；
（2），用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明。
分析：考试中综合题的第一问一般比较简单，但结论往往会作为下一问的基础。
本题第一位是送分题，∠AMQ=90°-∠HAM=90°-（45°-α）=45° α
比较难的是第二问，提问的方式也很灵活。怎么思考？
要求的是MB和PQ的数量关系，现在PQ的1/2即PC已经在直角三角形中，自然想到将MB也通过三角形边长的形式表达出来。
很明显，通过点M作CB的垂线ME，那MB就等于√2ME。
这时很容易观察到△ACP∽△QME（易知∠CAP=∠HQP）
但三角形相似还不够，需要的是能够全等。
如果能够证明QM=AP，那△ACP和△QME就全等了。
这时就注意题目中有一个很重要的条件，就是QC=PC，马上可以想到连接AQ，则很容易知道△APQ是等腰三角形，AP=AQ。
现在问题就变为在△AQM中，证明QM=QA。
这就用到问题1的结论，∠AMQ=45° α ，
而∠QAM=45° ∠QAC=45° ∠PAC=45° α。
所以有QA=QM，从而△ACP≌△QME，ME=CP
于是MB=√2ME=√2CP=√2/2QP，或者QP=√2MB。
