熵权法
熵权法是一种客观赋权方法。（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
依据的原理：指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。
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一、方法介绍
熵权法就是根据一项指标的变化程度来分配权重的，举个例子：小张和小王是两个高中生，小张学习好回回期末考满分，小王学习不好考试常常不及格。在一次考试中，小张还是考了满分，而小王也考了满分。那就很不一样了，小王这里包含的信息就非常大，所对应的权重也就高一些。
上面的小例子告诉我们：越有可能发生的事情，信息量越少。越不可能发生的事情，信息量就越多。其中我们认为 概率 就是衡量事情发生的可能性大小的指标。
那么把 信息量 用字母 I bf I I 表示，概率 用 p bf p p 表示，那么我们可以将它们建立一个函数关系：
那么，假设 x 表示事件 X 可能发生的某种情况，p(x)表示这种情况发生的概率情况如上图所示，该图像可以用对数函数进行拟合，那么最终我们可以定义： I ( x ) = − ln ( p ( x ) ) I(x) = -ln(p(x)) I(x)=−ln(p(x))，因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0 ≤ p(x) ≤ 1 0≤p(x)≤1，所以 I ( x ) ≥ 0 I(x) ≥ 0 I(x)≥0。 接下来引入正题：
信息熵的定义
假设 x 表示事件 X 可能发生的某种情况，p(x) 表示这种情况发生的概率我们可以定义: I ( x ) = − ln ( p ( x ) ) I(x)=-ln(p(x)) I(x)=−ln(p(x)) ，因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0≤p(x)≤1 0≤p(x)≤1 ，所以 I ( x ) ≥ 0 I(x)≥0 I(x)≥0 。 如果事件 X 可能发生的情况分别为: x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,cdots,x_n x1,x2,⋯,xn ，那么我们可以定义事件 X X X 的信息熵为：
H ( X ) = ∑ i = 1 n [ p ( x i ) I ( x i ) ] = − ∑ i = 1 n [ p ( x i ) ln ( p ( x i ) ) ] H(X)=sum_{i=1}^{n}[p(x_i)I(x_i)]=-sum_{i=1}^{n}[p(x_i)ln(p(x_i))] H(X)=i=1∑n[p(xi)I(xi)]=−i=1∑n[p(xi)ln(p(xi))]
那么从上面的公式可以看出，信息上的本质就是对信息量的期望值。
可以证明的是： p ( x 1 ) = p ( x 1 ) = ⋯ = p ( x n ) = 1 / n p(x_1)=p(x_1)=cdots = p(x_n) = {1}/{n} p(x1)=p(x1)=⋯=p(xn)=1/n 时， H ( x ) H(x) H(x) 取最大值，此时 H ( x ) = ln ( n ) H(x)=ln(n) H(x)=ln(n)。 (n表示事件发生情况的总数)
二、熵权法的计算步骤
熵权法的计算步骤大致分为以下三步：
判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）。
计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。
1. 判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）。
假设有 n n n个要评价的对象， m m m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下:
X = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X= [x11x12⋯x1mx21x22⋯x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnm]
X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm⎦⎥⎥⎥⎤
设标准化矩阵为 Z Z Z， Z Z Z 中元素记为 z i j z_{ij} zij：
z i j = x i j ∑ i = 1 n x i j 2 z_{ij}=frac{x_{ij}}{sqrt{displaystylesum_{i=1}^{n}{x_{ij}^2}}} zij=i=1∑nxij2 xij
判断 Z Z Z 矩阵中是否存在着负数，如果存在的话，需要对 X X X 使用另一种标准化方法对矩阵 X X X 进行一次标准化得到 Z Z Z 矩阵，其标准化的公式为:
z i j = x i j − m i n { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } m a x { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } − m i n { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } z_{ij}=frac{x_{ij} - minlbrace x_{1j}, x_{2j},cdots, x_{nj}rbrace}{maxlbrace x_{1j}, x_{2j},cdots, x_{nj} rbrace - minlbrace x_{1j}, x_{2j},cdots, x_{nj} rbrace} zij=max{x1j,x2j,⋯,xnj}−min{x1j,x2j,⋯,xnj}xij−min{x1j,x2j,⋯,xnj}
这样可以保证 z i j z_{ij} zij 在 [0,1] 区间，没有负数。
2. 计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
假设有 n n n 个要评价的对象， m m m 个评价指标，且经过了上一步处理得到的非负矩阵为:
Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z= [z11z12⋯z1mz21z22⋯z2m⋮⋮⋱⋮zn1zn2⋯znm]
Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤
计算概率矩阵 P P P，其中 P P P 中每一个元素 p i j p_{ij} pij，的计算公式如下:
p i j = z i j ∑ i = 1 n z i j p_{ij}=frac{z_{ij}}{displaystylesum_{i=1}^{n}{z_{ij}}} pij=i=1∑nzijzij
保证每一列的加和为1，即每个指标所对应的概率和为1。
3. 计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。
信息熵的计算：
对于第 j j j 个指标而言，其信息嫡的计算公式为:
e j = − 1 ln n ∑ i = 1 n p i j ln ( p i j ) , ( j = 1 , 2 , ⋯ , m ) e_j=-frac{1}{ln n}sum_{i=1}^{n}{p_{ij}}ln(p_{ij}), quad(j=1,2,cdots,m) ej=−lnn1i=1∑npijln(pij),(j=1,2,⋯,m)
这里要说明两个问题：
1. 为什么这里要除以 ln ( n ) ln(n) ln(n) 这个常数?
在前面说过 p ( x 1 ) = p ( x 2 ) = . . . = p ( x n ) = 1 / n p(x_1)=p(x_2)=...=p(x_n)=1/n p(x1)=p(x2)=...=p(xn)=1/n 时， H ( x ) H(x) H(x) 取最大值为 ln ( n ) ln(n) ln(n)，这里除以 ln ( n ) ln(n) ln(n) 能够使得信息嫡的始终位于 [0,1] 区间上面。
2. ej 越大，即第 j 个指标的信息嫡越大，表明第 j 个指标的信息越多还是越少?
答案是越少。当 p 1 j = p 2 j = ⋯ = p n j p_{1j} = p_{2j} =cdots=p_{nj} p1j=p2j=⋯=pnj 时， e j e_j ej 取到最大值 1 。但是因为 p i j = z i j / ∑ i = 1 n z i j p_{ij} = z_{ij}/displaystylesum_{i=1}^{n}z_{ij} pij=zij/i=1∑nzij ，所以 z 1 j = z 2 j = ⋯ = z n j z_{1j} = z_{2j} =cdots= z_{nj} z1j=z2j=⋯=znj，即 所有样本的这个指标值都相同。 指标相同意味着这个指标的数据没有变化，也就是 信息少！ 因此需要将其倒转，即计算信息效用值。
信息效用值的定义:
d j = 1 − e j d_j=1-e_j dj=1−ej
那么信息效用值越大，其对应的信息就越多。
将信息效用值进行归一化，我们就能够得到每个指标的 熵权 :
ω j = d j ∑ j = 1 m d j , ( j = 1 , 2 , 3 , ⋯ , m ) omega_j=frac{d_j}{displaystylesum_{j=1}^{m}d_j},quad(j=1,2,3,cdots,m) ωj=j=1∑mdjdj,(j=1,2,3,⋯,m)
三、模型扩展 （）
熵权法可对 TOPSIS 法进行修正。
熵权法背后的原理是利用指标的变异程度进行赋权，存在一定程度的客观性，可利用主观赋权法求得的权重向量进行综合。
客观赋权法存在很多，求得客观权重的方法也有很多，其中灰色关联分析法得到的关联程度也可当作权重进行应用。
不同的标准化方法，可能得到的标准化矩阵 Z Z Z 存在差异，因此根据实际情况来使用标准化方法，注意前提都是得到的 Z Z Z 矩阵中没有负数。
四、模型总结
总结一下步骤：
判断输入的矩阵中 是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）。
计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的 概率。
计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。
本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言哦~