用白铁皮做罐头盒（一张铁皮可以做25个罐头身）

　　用白铁皮做罐头盒（一张铁皮可以做25个罐头身）
　　提要
　　列一元一次方程解决实际问题是其他方程（组）解决实际问题的基础，列方程解应用题时，应根据具体问题中的数量关系列方程，建立方程模型再通过解方程来解决实际问题；在寻找复杂问题的数量关系时，应注意选择适当的方法，尽量使复杂问题直观化或条理化，求得方程的解必须检验，对照应用题看是否合理。
　　知识全解
　　一、列方程解决实际问题的步骤
　　列方程解应用题，就是把生活中的实际问题抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决，列方程解应用题的一股步骤可以简单地表示如下：
　　（1）审：弄清题意和题目中的数量关系。
　　（2）设：用字母表示其中适当的未知数。
　　（3）找：找出能够表示实际问题全部含义的一个相等关系，这是解题的关键。
　　（4）列：对上述相等关系中涉及的量，列出必要的代数式，从而列出方程。
　　（5）解：解所列方程，得到未知数的值。
　　（6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案，注意不要忘记单位。
　　提示
　　列方程解应用题时应注意的事项如下
　　（1）找等量关系注意事项：根据实际应用问题，准确判断所要解决的问题，是属于前文所述的常见的4种类型，还是属于其他类型；找准等量关系，并能用简洁的文字表述清楚；能用含有未知数的代数式表示实际应用问题中的相等关系。
　　（2）设未知数注意事项：设未知数一般是问什么，就直接设什么；如果直接设未知数有困难，则应间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位。
　　特别注意，在设未知数时，如果未知数设得恰当，所列出的方程会比较简洁，解起来也会比较方便；反之，方程很难列，甚至列不出来，有时虽然方程能列出来，但解起来却很麻烦。
　　二、列一元一次方程解应用题中几种常见的类型
　　（1）行程问题：基本数量关系是路程速度时间；顺水（风）速度物体速度水（风）速，逆水（风）速度物体速度水（风）速；相遇问题中，双方所走路程和总路程；追及问题中，双方所走路程差开始时相距路程等。
　　（2）等积变形问题：等周长、面积、体积变化前后分别对应周长、面积、体积不变。
　　（3）工程问题：基本数量关系是工作量工作效率工作时间；比较常见的数量关系是，一方的工作量另一方的工作量合作的工作量。
　　（4）存贷款问题
　　利息本金利率期数。
　　本息和（本利和）本金利息本金本金利率期数本金（1利率期数）。
　　实得利息利息利息税。
　　利息税利息利息税率。
　　年利率月利率12。
　　月利率年利率112。
　　（5）商品营销问题，常用公式如下
　　利润及利润率公式：商品利润商品售价商品进价（即商品成本），商品利润率商品利润商品进价。
　　折扣率：打n折，是指按原售价的n10售出，n可以是小数（如7。5折）；
　　变形公式：利润总收入总成本单价销量总成本；售价进价利润（1利润率）进价。
　　（6）比赛积分问题
　　积分的原则：不同的比赛有不同的积分办法。
　　如篮球、排球等比赛，其结果只有胜或负。通常胜一场得2分，负一场得1分。故有：总积分胜场次数2负场次数1；
　　足球比赛，其结果有胜、平或负，通常胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则有：总积分胜场次数3平场次数1。
　　（7）方案问题
　　选择设计方案的一般步骤如下
　　运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；
　　用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论
　　方法点拨
　　类型1配套问题
　　例1用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作25个盒身，或制作40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒，现有36张白铁皮，用多少张制作盘身、多少张制作盒底可以使盘身与盒底正好配套？
　　【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是盒身的个数2盒底的个数；制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数36，列方程求解即可
　　【解答】设用x张制作盒身，则用（36x）张制作盒底，
　　根据题意，得225x40（36x），
　　解得x16
　　361620（张）
　　答：用16张制作盒身、20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套，
　　【方法总结】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解。注意运用本题中隐含的一个等量关系：一个盒身与两个盆底配成一套盒。
　　类型2工程问题
　　例2有一批零件加工任务，甲单独做40小时完成，乙单独做30小时完成，甲做了几小时后另有任务，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2小时，求甲做了几小时？
　　【分析】设甲做了x小时，根据题意得等量关系：甲x小时的工作量乙（x2）小时的工作量1，再根据等量关系列出方程即可。
　　【解答】设甲做了x小时，根据题意，得
　　x40（x2）301
　　解这个方程得x16
　　答：甲做了16小时
　　【方法总结】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程。
　　例3某工程队承包了某段全长1755m的过江隧道施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进。已知甲组比乙组平均每天多挖掘0。6m，经过5天施工，两组共挖掘了45m。
　　（1）求甲、乙两个班组甲均每天各挖掘多少米？
　　（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余得工程中，甲组平均每天能比原来多挖0。2m，乙组平均每天能比原来多挖0。3m。按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
　　【分析】问题（1）通过列一元一次方程来解决，设乙组平均每天掘进xm，则甲
　　组平均每天掘进（x0。6）m，寻找等量关系经过5天施工，两组共挖掘了45m，列方程。
　　问题（2）借助问题（1）中结果进一步计算可得出所需结果。
　　【解答】（1）设乙组平均每天掘进xm，则甲组平均每天掘进（x0。6）m，根据题意，得
　　5x5（x0。6）45，
　　解得x4。2，则x0。64。8
　　答：甲组平均每天掘进4。8m乙组平均饵天掘进4。2m
　　（2）改进施工技术后，甲组平均每天掘进4。80。25（m）；乙组平均每天掘进4。20。34。5（m）。
　　改进施工技术后，剩余的工程所用时间为（175545）（54。5）180（天）
　　按原来速度，剩余的工程所用时问为（175545）（4。84。2）190（天）
　　少用天数为19018010（天）
　　答：能够比原来少用10天完成任务。
　　【方法总结】解应用题时，当题目中有几个不同单位时，往往因为粗心大意，忽略了统一单位而发生错误。因此方程中各个单位应统一，否则所列方程两边不等。
　　类型3打折销售问题
　　例4一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10，求这件外衣的标价为多少元？（注：利润率：（售价进价）进价100）
　　【分析】设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0。8x元，根据利润的售价进价进价利润率建立方程求出其解即可
　　【解答】设这件外衣的标价为x元，依题意得
　　0。8x20020010
　　0。8x20200
　　0。8x220
　　x275
　　答：这件外衣的标价为275元
　　【方法总结】本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据利润率（售价进价）进价100建立方程是解答本题的关键
　　类型4比赛积分问题
　　例5足球比赛的计分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分。
　　请问：（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
　　（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
　　（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标请分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
　　【分析】用方程计算球赛积分问题的方法：弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。本题的等量关系是总积分胜场次数3平场次数1
　　【解答】（1）足球比赛计分规则：总积分胜场次数3平场次数1
　　设这个球队胜x场，则平了（81x）场。根据题意，得
　　3x（81x）17，解得x5
　　答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场
　　（2）因为已经打了8场比赛，还剩下6场比赛，若全胜，则得18分。所以，打满14场比赛最高能得17（148）335（分）
　　答：最高能得35分
　　（3）由题意知，剩下的6场比赛中，只要得分不低于12分即可。
　　所以胜不少于4场，一定可以达到预期目标，或胜3场、平3场，正好也能达到预期目标
　　答：在以后的比赛中这个球队至少要胜3场，
　　【万法总结】解决比赛求积问题时要分析清楚比赛规则，根据比赛计分方式和比赛场次列方程求解
　　类型5方案决策问题
　　例6某地有一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元，当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力如下：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行。受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了以下三种方案。
　　方案一：将蔬菜全部进行粗加工
　　方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售
　　方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成
　　如果你是公司经理，你会选择哪一种方案？说明理由。
　　【分析】要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利益，再进行比较即可
　　【解答】方案一：将蔬菜140吨全部进行粗加工，每吨利润4000元。
　　4000140560000（元）
　　方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售
　　1567000（140156）1000680000（元）
　　方案三：设精加工x吨，则
　　x6（140x）1615
　　解得x60
　　7000604000（14060）740000（元）
　　故选择第三种方案
　　答：应选择方案三
　　【方法总结】计算方案三的销售金额时，若按问什么设什么就不容易找到与已知量的联系，这说明列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要。
　　中考链接
　　考点1一元一次方程的实际应用
　　例1某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同。2月份的销售量比1月份增加了10，每辆车的售价比1月份降低了80元。2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（）
　　A880元B800元C。720元D1080元
　　【分析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x80）元，依据2月份的销售量比1月份增加10，每辆车的售价比1月份降低了80元。2月份与1月份的销售总额相同列出方程井解答，
　　【解答】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x80）元，依题意得
　　100x（x80）100（110）
　　解得x880
　　所以，1月份每辆车售价为880元
　　故选A
　　【点评】本题考查了一元一次方程的应用。根据题意得到2月份每辆车的售价和2月份的销售总量是解题的突破口。
　　例2小明想从某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？
　　【分析】设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x10）元，依据5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同列出方程并解答
　　【解答】设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x10）元
　　依题意得：5x7（x10），
　　解得x35
　　所以351025（元）
　　答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价是25元，
　　【点评】由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。