聚热点 juredian

根号(根号数的迭代?)

上一个作品,我们是在数轴上依次画出表示根号2、根号3、根号4、根号5……根号10的点:

那么,类似地,可以利用勾股定理(毕达哥拉斯定理),作出长为根号2、根号3、根号4、根号5……的线段:

源文件获取方式,请见文末

有人称之为毕氏螺线。毕氏,即毕达哥拉斯。也有人称之为根号数的迭代。

前一个叫法好理解,而后一个叫法,则与其制作有关。

那么,是怎么制作的呢?

迭代

何为迭代?

每一次对过程的重复称为一次迭代,而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。

而毕氏螺线是怎么得来的?我们先来看下图中的点B2,B3,B4是怎么得来的。

将点B1作为起始点:

点B4,B5,B6,……也可以依照此规律作出来。

而作出这些点的过程,就是不断地对上一个点进行相同操作(垂直,长为1)的重复过程,即为迭代。

在GeoGebra中,有迭代(Iteration)指令:

迭代( <表达式>, <变量>, <起始值>, <迭代次数> )

▪ 例:

将点B以点A为中心,逆时针旋转90度,得到第一个新点;再将此点以点A为中心,逆时针旋转90度,得到第二个新点;又将此点以点A为中心,逆时针旋转90度,得到第三个新点;

也就是迭代三次,即:

迭代(旋转(A, -90°, P), P, {B}, 3)

其中,起始值需用花括号{ }括起来。

由上图可见,只得到一个新点——点C。点C为第三个新点,也就是最后一次迭代所得结果。

那么,如果需要显示迭代过程中所产生的点,应该如何做呢?

在GeoGebra中,有相应的指令——迭代列表(IterationList)指令:

迭代列表( <表达式>, <变量>, <起始值>, <迭代次数> )

迭代列表指令,返回的是一个列表,其中,第一个元素为起始值,其后的元素为每次迭代所得到的结果。

▪ 以上面的例子为例,如需显示迭代过程,即:

迭代列表(旋转(A, -90°, P), P, {B}, 3)

需要注意的是:起始值也需用花括号{ }括起来。

对迭代、迭代列表有了初步认识后,我们来看看怎么用迭代列表作出毕氏螺线中相关的点。

至于需要动态显示,只需让迭代次数是一个变量即可,我们用滑动条n来表示,即:

n = 滑动条(1, 18, 1)

当然,n的最大值并非必须是18,也可以再大一些。

再作出点A、点B:

A = 交点(x轴, y轴)

B = (-1, 0)

备注:滑动条(slider)、交点(intersect)、x轴(xAxis)、y轴(yAxis)。

为了保证垂直与长为1,有多种做法。这里介绍三种方法。

【法一】

垂直——旋转90度;长为1——除以自身的长度。

即:

迭代列表(P + 向量(P, 旋转(A, -90°, P)) / 距离(P, 旋转(A, -90°, P)), P, {B}, n)

备注:向量(vector)、旋转(rotate)、距离(distance)。

【法二】

垂直——旋转90度;长为1的向量——单位向量。

即:

迭代列表(P + 单位向量(向量(P, 旋转(A, -90°, P))), P, {B}, n)

备注:单位向量(unitvector)。

法一、法二是着眼于点,由点旋转90度,保证垂直。若是着眼于线段,那么,为保证垂直于线段,则可取其法向量。

【法三】

垂直,且长为1的向量——单位法向量。

即:

迭代列表(P + 单位法向量(线段(A,P)), P, {B}, n)

备注:单位法向量(unitperpendicularvector)。

取以上任意一种方法构造点均可,并命名为l1。

多边形

有了这些点,即 l1;则可构造出相应的直角三角形。即:

l2 = 序列(多边形(A, 元素(l1, k), 元素(l1, k + 1)), k, 1, n)

备注:序列(sequence)、多边形(polygon)、元素(element)。

关于序列指令的解读,请见链接。

文本

先标出直角边AB的长为1:

利用文本工具

而其他长为1的直角边,则可利用序列指令标出1,即:

l3 = 序列(文本("1", 中点(元素(l1, k - 1), 元素(l1, k)), true, true), k, 2, n + 1)

而根号2、根号3、根号4……等文本的显示,也同样可利用序列指令,即:

序列(文本("sqrt{" + k+ "}", 中点(A, 元素(l1, k)), true, true), k, 2, n + 1)

但是,发现文本的位置并不太妥当。

还记得,《文本进阶》中的放大招吗?

此刻,即可派上用场,操作如下:

引入点C来调整文本位置

至此,拉动滑动条n,即有开头演示的效果。

结语

有重复性操作,不仅可以交给序列,还可以交给迭代或迭代列表。

打个比方:

如果是已知通项公式,即知道第n项与n之间的关系,则可使用序列。如果是已知递推公式,即知道第n项与其前一项或几项的关系,则可使用迭代或迭代列表。其中,如需显示迭代过程的,则用迭代列表;而只需最终的迭代结果,则用迭代。

在GeoGebra中,除了序列指令、迭代与迭代列表指令,还有一大指令——映射(zip)指令,也是可以使得制作更方便、更高效!映射指令,主要是在批量构造对象、处理对应关系上,有极大的优势。

批量构造对象的例子,请参照链接的第二部分。在处理对应关系上,请参照链接。

如需作品源文件,请回复:毕氏螺线。

搜索建议:根号  根号词条  
热闻

 夕阳无限好六年级作文

夕阳无限好六年级作文无论是在学校还是在社会中,大家对作文都再熟悉不过了吧,作文是人们把记忆中所存储的有关知识、经验和思想用书面形式表达出来的记叙方式。为了让您在...(展开)

热闻

 【歌词】偿还 - 邓丽君 / 歌...

沉默的嘴唇还留着泪痕这不是胭脂红粉可掩饰的伤痕破碎的心灵流失了多少的情弥补的谎言偿还的借口我不会去当真爱的心路旅程只能够你我两个人不可能是我独徘徊也不可能三人行...(展开)