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几何模型 | 与圆有关的最值问题-瓜豆模型

前言

在辅助圆问题中,求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值.

我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.

运动轨迹-圆

【例1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.

考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是什么样的呢?

【解析】可以通过观察动图可知点Q的轨迹是一个圆,而此圆与圆O有什么关系呢?

因为Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,QM是三角形APQ的中位线,半径MQ是OP一半,则M点即为Q点轨迹圆圆心。任意时刻,均有QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小结】确定Q点轨迹圆,确定其圆心与半径,

由Q为AP中点可得:AM=1/2AO,QM=1/2PQ.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

【例2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.

考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

【解析】将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,旋转不会改变图形的大小和形状,所以Q点运动轨迹与P点轨迹是一样的,都是圆.然后来确定该圆心与半径.

易得:△APO≌△AQM.

所以圆心就是点O绕点A逆时针旋转90°得到的点M;

半径等于圆O的半径

【例3】如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?

【解析】方法同例2,将△APQ绕点A逆时针旋转90°,且将比例缩小,放缩前后比为2:1.

则△APO∽△AQM,且相似比为2.

所以圆心就是点AO绕点A逆时针旋转90°且取原长的一半得到的点M;

半径等于圆O的半径的一半

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”.

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);

主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

【结论】

(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:∠PAQ=∠OAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”.

【练习1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.

考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

【解析】Q点满足(1)∠PAQ=60°;(2)AP=AQ,故Q点轨迹是个圆:

∠PAQ=60°,可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°;

AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

△APO≌△AQM,即可确定圆M位置和大小

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.

【练习2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.

考虑:当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹?

【解析】Q点满足(1)∠PAQ=45°;(2)AP:AQ=根号2:1,故Q点轨迹是个圆.

连接AO,构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2:1.M点即为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.

【思考】如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是_______.

运动轨迹-线段

【例4】如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?

【解析】 分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.

所以:当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.

【例5】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?

【解析】当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.

当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形

【模型总结】

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);

主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

【2020重庆八中周考】如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是________;点F到点A的最短距离是________。

【解析】根据△DPF是等边三角形,所以可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.

F点运动路径长与P点相同,所以F点运动轨迹也是线段,取两个特殊点确定出轨迹易得AF最小为:3倍根号3

运动轨迹-其它

【例题】如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为___________.

【解析】固定AB不变,AC=2,则C点轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,以BC为斜边作等腰直角三角形BCD,则D点轨迹是以点M为圆心、根号2为半径的圆

考虑到AP=2AD,故P点轨迹是以N为圆心,2倍根号2为半径的圆,即可求出PB的取值范围.

【总结】掌握“瓜豆原理”的关键,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性。

根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹圆,从而求出动点轨迹圆心和半径。而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹也相应的会是其他图形.

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