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面积法解题

提要

面积法是运用几何图形(主要是三角形)的面积公式以及面积的基本性质(指面积的唯一性,可加性,可比性,异形等积性)来解决几何问题的方法。某些条件与结论中似乎与面积无关的问题用面积法处理,比用其他方法来处理更显得简单方便。

知识全解

一.面积法的概念

我们把根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关计算面积的公式,定理或图形的面积进行解题的方法称为面积法。运用面积法解题具有直观,简便,灵活,新颖等特点。

熟练掌握三角形等基本图形的面积公式是运用面积法的关键。

二.面积法解题的常用方法和技巧

(1)直接法:根据面积公式和性质进行运算或推理实现解题的方法。

(2)等积法:根据面积的等积性质进行转化获得解题的方法,常用的有同底等高,同高等底和全等的等积转化。

(3)割补法:通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题。

(4)代数法

(5)构造特殊图形法;整体与局部结合的思想等方法。其常用的方法有:1.同一图形的面积用几个不同式子表示;2.面积相等;3.一个图形的面积等于几个分图形面积的和。

学法指导

类型1 利用等积关系证明几何命题

例1 已知□ABCD,点E是BC边上一点,F为AB边上一点,且AE=CF,AE与CF交于G,连接DG。求证:∠DGA=∠GGC

又∵AE=CF

∴AE,CF上相应的高相等,即D到FC,AE的距离相等。

∴DG是∠AGC的平分线,即∠DGA=∠DGC

【点评】解答本题的关键是证明点D到FC,AE的距离相等,而AE=CF,故只需证明△ADE与△CDF的面积相等。

类型2 利用面积的和差共线证明几何命题

例2 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D为BC上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G,求证:DE+DF=BG

又∵AB=AC

∴BG=DE+DF

【点评】本题若用三角形全等来证,显然比较复杂。若从面积考虑,连接AD,将△ABC分成两个三角形△ABD和△ACD,而这两个三角形的面积表达式都容易求得,解答非常容易。

类型3 利用面积的比例关系证明几何命题

【点评】本题抓住“等高的三角形面积之比等于底的比”来证,相当简便。

链接中考

考点1 利用面积法求解三角形问题

例1 如图所示,在Rt△ABC中,已知∠C=90度,AC=5cm,BC=12cm,求斜边AB上的高。

即5×12=13CD

∴CD=60/13 cm

因此,斜边AB上的高为60/13 cm

【点评】直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半,也可以等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。

考点2 利用面积法求解函数问题

例2 如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在BC边上运动,连接AE,过点D作DF⊥AE,,垂足为F,设AE=x,DF=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图像是()

∴xy=12

∴y=12/x

又∵在△ABE中,3≤AE≤5

∴3≤x≤5

故选C

【点评】通过观察发现,点E在BC上运动时,△ADE的面积没有发生变化,因而根据三角形的面积公式,可找出底与高之间的关系。当然本题也可以通过相似的方法予以解决。

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