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初中数学:平滑定理在二次函数求面积中的巧妙应用

我们先来了解什么是平滑定理:

两个三角形共用同一底,且顶点都在与底平行的同一条直线上,那么由三角形的面积公式可知,这两个三角形的面积必然相等。

所以平滑定理需要两个条件:

1)共底或者底在同一直线上但相等;

2)三角形的顶点都在与底平行的同一条直线上

平滑定理

而在二次函数与一次函数相结合的题目中,求面积或者与面积相关的问题时,我们通常过三角形的某个已知顶点作对边(通常这个边的直线方程已知或比较容易求解)的平行线,利用平滑定理来求解,问题就会变得简单许多,近年来,多地的中考试题中也出现了这样的题目,值得我们重视。

初中数学课堂

以下为王国强老师主编的初中数学课堂教学实践,推荐感兴趣的老师和同学可以阅读一下

下面结合两个例题做进一步说明:

例1、如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x﹣3交于点A(3,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.

(1)求出抛物线的函数表达式;

(2)在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标;

(3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P(不与点A重合),使△PMC的面积与△AMC的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)把(﹣2,n)代入y=x﹣3得n=﹣2﹣3=﹣5,则B(﹣2,﹣5),

把A(3,0),B(﹣2,﹣5)代入得抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;

(2)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(3,0),

当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3)

设N(t,t﹣3),

∵AC平移得到MN,

∴AC∥MN,AC=MN,

而点C先向下平移3个单位,再向右平移3个单位得到点A,

当点N先向下平移3个单位,再向右平移3个单位得到点M,则M(t+3,t﹣6),

把M(t+3,t﹣6)代入y=﹣x2+2x+3得t﹣6=﹣(t+3)2+2(t+3)+3,解得t1=1,t2=﹣6,

∴M点的坐标为(4,﹣5),(﹣3,﹣12)(舍去)

当点N先向上平移3个单位,再向左平移3个单位得到点M,则M(t﹣3,t),

把M(t﹣3,t)代入y=﹣x2+2x+3得t=﹣(t﹣3)2+2(t﹣3)+3,解得t1=3(舍去),t2=4,

∴M点的坐标为(﹣1,4)(舍去),

综上所述,M点坐标为(4,﹣5);

(3)情形1:当点P在MC上方的抛物线上时,如图2-1,过点A作MC的平行线,交抛物线于点P,交y轴于点E,此时△PCM的面积 = △ACM面积,

将C(0,3),M(4,-5)代入y=kx+b,解得

CM直线方程为:y = -2x+3,

∵ AE//CM, (由平滑定理可知,当点P在MC上方的抛物线上时,与△ACM面积相等三角形顶点P一定在过A点且平行于MC的直线上,情形2同理)

∴ 可设AE的直线方程为:y=-2x+t

代入点A(3,0)得t=6

∴AE的直线方程为:y = -2x+6

联立y=﹣x2+2x+3

解得:x1 = 3, x2=1

∴P(1,4);

情形2:当点P在AC下方的抛物线上时,AE的直线方程为:y = -2x+6

解得E(0,6)

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