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四步解题法(高中数学)3——实例示范1

本节我们用几个具体例子,介绍“四步解题法”的实际操作过程(四步解题法的内容,请查阅前面的文章)。

首先要讨论的,就是在“四步解题法之整体框架”中谈到的那个变异后的极值问题:

例1、已知x+2xy+4y=1,求x²+xy-x+2y的极小值。

【分析与解】 先“明确目标”:问题的目标状态是“x²+xy-x+2y≥常数”。

经验告诉我们,达到这一目标的常用方法是,通过换元或消元,使之化为一元函数的极值求解或利用基本不等式求解。

然后“寻找条件”:已知条件为x+2xy+4y=1,发现其功能是:式子x+2xy+4y可以换作常数“1” (整体消元)。

接着“发现差异”:比较两个状态的差异,发现目标状态含有“xy+2y”,它与条件中的式子“x+2xy+4y”比较接近,但又不尽相同。

下面来“构造相同”:先将系数变得相同,这将“xy +2y”乘以2,即可变成条件中式子的一部分“2xy +4y”。再配上x,就可利用条件,整体式子换成1(消元)。于是想到下面的变形:

x²+xy-x+2y=[2x²+(2xy+4y+x)-3x]/2=(2x²-3x+1)/2。

至此,问题已被转化为求(2x²-3x+1)/2的极小值,而这个问题是“已经”解决了的,故可实施解题方案。详细解答留给读者完成。

上面的分析过程告诉我们,解题的关键在于那种构造性的凑配,而这种凑配来源于对条件与结论间的差异的认识,只要想到“构造相同”,以利用条件,解题便水到渠成。

显然,在上面的分析过程中,我们只进行了一个“循环”,就发现了解法,这是一个较易分析的例子。而且,一旦掌握了这种分析的本质,解题过程还可简化。

实际上,我们只须将条件式变形为xy+2y=(1-x)/2,然后代入所求极值的式子即可。这种局部性的构造,来源于对局部差异的认识。

例2、对一切实数x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1,讨论f(x)的奇偶性。

【分析与解】 先明确目标:本题的目标是证明f(-x)=f(x);或证明f(-x)=-f(x);或以上两式同时成立;或找到反例,说明以上两式均不成立。

现在来寻找条件:题给条件为

f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y) ①

由于目标有多种可能,我们希望利用条件,否定其中一些可能,使目标变得更具体,这只须找一个符合①的特殊函数来试验。

取f(x)=x,此时f(x)为奇函数。又f(1)=1,从而f(1)不恒为0,不可能是“既奇又偶”函数。由此可知,我们的目标是,证明或否定

f(-x)=-f(x)。 ②

下面发现差异:观察①与②,发现它们的差异是,目标②中不含y而含有“-x”。这样,不难想到“构造相同”的方法是,在①中令y=-x。

于是,由①得f(0)=f(x)+f(-x) ③

继续发现差异:再比较②与③,为了便于发现差异,我们把②改写为0 =f(x)+f(-x)。

至此,问题已发生转化,目标已变为证明或否定f(0)= 0。

现在进一步发现差异:再观察条件①,发现⑤与①的差异是,⑤中不含x、y,于是,可在①中令x=y=0来消除差异,实现目标⑤。

于是,由①,得f(0)=f(0)+f(0),故 f(0)=0。

至此,问题已被解决,详细解答留给读者完成。

显然,本题的分析过程中,进行了多个子循环:“明确目标,发现差异,构造相同”。

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