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瓜豆原理 | 几何模型手册

文章来源,公众号:初中数学题

01 认识模型

瓜豆原理,中国有句古话:种瓜得瓜种豆得豆。

例1,如下图,点P是一个定点,点A是圆O上一个动点,连接PA作线段PB⊥PA,且使PB=PA。如果A点的运动轨迹是圆,那么B点的运动轨迹也是圆。

例2,如下图,点P是定点,点A是直线L上的动点,连接PA作线段PB⊥PA,且使PB=PA。如果A点的运动轨迹是直线,那么B点的运动轨迹也是直线。即种瓜得瓜种豆得豆。

这两个例子中,都有一个定点P,一个主动点A,从动点B随着点A的变化而变化。

如果A点的运动轨迹是直线,那么B点的运动轨迹也是直线(种线得线);如果A点的运动轨迹是圆,那么B点的运动轨迹也是圆(种圆得圆)。即种瓜得瓜种豆得豆,所以形象的称为瓜豆原理。

02 确定模型

上面的例子中有很多条件,例如PB⊥PA,PB=PA等,那么具体哪些条件可以确定它符合瓜豆原理呢?

对于一个定点P,一个主动点A,一个从动点B。确定是否符合瓜豆原理,只需要判断下面两点。

①夹角∠APB固定

例如上面两个例子里这个夹角都是固定的90度。即使特殊情况,夹角是0度,即三点在一条直线上也是符合条件的。

②两边比例(PA:PB)固定

例如上面两个例子里,PA:PB=1。

练习一下,如下图,点P是定点,点A是圆O上的动点,连接PA,B是PA的中点,问点B的运动轨迹是什么?

定点P,主动点A,从动点B

按照上面的方法,①夹角∠APB=0°,固定。②两边比例PA:PB=2,固定。

大功告成,符合瓜豆原理,所以点B的运动轨迹也是圆(图中虚线的圆)。

所以,只需抓住这两点就可以判断是否符合瓜豆原理,非常简单吧。

03 模型原理

我们把核心的内容抽出来研究一下,如下图。定点P,主动点A,从动点B。点A沿直线运动到A′时,点B沿直线运动到B′。

瓜豆原理的条件:∠APB=∠A′PB′=α,PA:PB=PA′:PB′=k。

因为∠APB=∠A′PB′=α,都减去公共角∠A′PB,得到∠APA′=∠BPB′;

PA:PB=PA′:PB′,所以△APA′∽△BPB′。

即瓜豆原理的核心是△APA′与△BPB′相似(特殊情况是全等),即动态相似。如果是解答题或证明题,不能直接应用瓜豆原理的结论,可以很自然的想到构造三角形相似(全等)。

04 结论

瓜豆原理的结论是:从动点的运动轨迹与主动点的运动轨迹一致。

(一)轨迹是直线的情况

可以得到结论:

①AA′:BB′=PA:PB

②两运动轨迹直线的夹角等于条件中的定角,即∠ACB=∠APB

(二)轨迹是圆的情况

可以得到结论:

①P到两个圆心的距离比,两圆的半径比都等于PA:PB(定值)。即PA:PB=PM:PN=MA:NB

②定点与圆心连线夹角等于条件中的定角,即∠MPN=∠APB

以上这些是经常用到的结论,大家一定要熟悉(有兴趣的同学可以自己证明)。

05 抽图训练

利用瓜豆原理快速确定从动点的运动轨迹。关键是判断条件是否符合瓜豆原理。下面举一些例子,大家练习一下瓜豆原理的判定,如果图形复杂,可以把定点,主动点,从动点抽图来确认条件(题目中用颜色表示)。篇幅有限,只给出轨迹。

例1,在平面直角坐标系中,正方形AOCB,点A(0,3),点D为x轴上一动点,以AD为边在AD的右侧作等腰RT△ADE,∠ADE=90°,连接OE,则OE的最小值是( )。

确认模型:定点A,主动点D,从动点E。确认条件:

①夹角∠ADE=90°(固定)

②两边比例AE:ED=√2(固定)

参照下图,点E的轨迹与点D相同,是一条直线(可以找两个特殊点来确定直线位置)。参考答案:3√2/2。

例2,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B为y轴正半轴上一动点,连接AB,以AB为一边向下作等边△ABC,连接OC,则OC的最小值是( )。

确认模型:定点A,主动点B,从动点C。确认条件:

①夹角∠BAC=60°(固定)

②两边比例AB:AC=1(固定)

参照下图,点C的轨迹与点B相同,是一条射线去掉端点(因为y轴正半轴不包含原点O,可以找两个特殊点来确定位置)。参考答案:2。

例3,在直角△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=12,点D为AC中点,点P为AB上的动点,将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q,连接CQ,则线段CQ的最小值是( )。

确认模型:定点D,主动点P,从动点Q。确认条件:

①夹角∠PDQ=90°(固定)

②两边比例DP:DQ=1(固定)

参照下图,点Q的轨迹与点P相同,是一条线段(可以找两个特殊点来确定位置,易知轨迹与AC平行,即求平行线间距离)。参考答案:6。

例4,在△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD与CE交于点O,则线段AO的最大值是( )。

确认模型:定点B,主动点C,从动点O。确认条件:

①夹角∠CBO=45°(固定)

②两边比例BC:BO=√2(固定)

点C的轨迹是以点A为圆心,半径为2的圆。

点O的轨迹是以点P为圆心,半径为√2的圆(半径比也是√2)。

根据结论∠ABP=45°,AB:BP=√2(可以确定点P的位置)。

所以△ABP是等腰直角三角形,AP=BP=2√2

当A,P,O共线时AO最大:AP+PO=3√2

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