聚热点 juredian

菱形背景下的一题多变和一题多解

原题背景:沪教版八年级第二学期第22找那个第三节“特殊的平行四边形”例题

解法分析:本题的解法是联结AC,通过证明△ACE≌△ADF或证明△ABE≌△ACF,从而证明AE=AF。主要有如下图①和②的两种辅助线的方法。

变式1:将条件一般化(改为∠B=∠EAF)

解法分析:由于去除了∠B=60°这一特殊条件,因此联结AC后不能构成两个共顶点的等边三角形,可以采取图③(利用等高构造全等的直角三角形)以及图④(截长补短法构造等腰三角形),具体的解法以及通法可以点击以下链接:

变式2:将条件和结论互换(已知AE=AF,求证∠EAF=60°)

解法分析:由于条件和结论互换后,联结AC或出现“S.S.A”的情况,无法证明三角形全等。仍旧可以沿用图③和图④辅助线的添线方法进行证明。

变式3 : 将条件一般化 (将点E、F的位置由原来在线段上变为在射线上) 解法分析: 由于条件一般化后需要根据题意分类讨论。即点在线段或其延长线上。本题的第1问E在线段的延长线上,需根据题意画出新的图形,再按照例题的方法,即联结AC,反向全等三角形证明即可;本题的第2问涉及函数关系的建立,求△ADF的面积,只需要过点A作高即可,利用30°-60°-90°三角形的性质,即可求高,最终用含x的代数式表示三角形的面积;本题的第3问是存在性问题,由于AB//DF,因此分别以AB和DF为对边作平行四边形,即F在CD延长线上这种情况。 变式4 : 将条件变化“位置” (将点E、F的位置由原来在BC、CD上变为在直线BC、CD上,改变为∠AEF=60°) 解法分析: 由于条件变为∠AEF=60°,此时不满足共顶点等边三角形的特征,因此需要采取新的辅助线的添加方式。本题第1问是点在线段上的情况,由于还是证明AE=AF,而很难构造以AE和AF为边的全等三角形,因此,尝试构造以AE、EF为边的全等三角形,利用“截长补短法”,构造全等三角形;本题的第2问虽然改变了点的位置,但是辅助线的添线方式和证明方式还是一致的。 变式5 : 将条件特殊化&题设结论互换 (点E和点F分别是BC和CD的中点&已知等边三角形,反求∠B度数)

解法分析: 本题的第1问是常规的证明全等三角形得相等线段的问题。 本题的第2问已知△BEF为等边三角形,求∠ABC的度数。通过联结AC无法解决问题,因此 根据中点性质,联想与中点性质相关的辅助线的添线方法 。 解法1:利用中位线和等腰梯形性质 解法2:利用中位线、平行四边形性质及勾股定理

解法3:倍长中线证明全等三角形,利用第三边上的中线等于第三边长的一半证明直角 解法4:利用梯形中位线性质定理 通过一道例题可以得到5种变式,变式的特点在于“ 题设和结论互换 ”、“ 点在线段或延长上 ”、“ 结论或结论一般化或特殊化 ”。对于“点在线段或其延长线”上的情况,可以沿用一致的添线方法和证明方法,而另外两种情况则需要具体情况具体分析,根据条件和题设间的联系,合理进行辅助线的添加。

搜索建议:
热博

 干货!2023年中国脑机接口行业...

——原标题:干货!2023年中国脑机接口行业龙头企业分析——强脑科技:国内唯一一家脑机接口行业独角兽企业行业主要企业: 脑陆科技;强脑科技;回车科技等本文核心数...(展开)