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初中数学:一元二次方程常考题讲解(精)

初中数学:一元二次方程常考题讲解(精)

一、单选题

1.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是(  )

A.(32﹣2x)(20﹣x)=570 B.32x+2×20x=32×20﹣570

C.(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣570 D.32x+2×20x﹣2x2=570

【答案】A

【解析】

【详解】

六块矩形空地正好能拼成一个矩形,设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570m2,即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570,

故选A.

2.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为(  )

A.80(1+x)2=100 B.100(1﹣x)2=80 C.80(1+2x)=100 D.80(1+x2)=100

【答案】A

【解析】

【分析】

利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设平均每次增长的百分率为x,根据“从80吨增加到100吨”,即可得出方程.

【详解】

由题意知,蔬菜产量的年平均增长率为x,

根据2016年蔬菜产量为80吨,则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨,

2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,

即:80(1+x)2=100,

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义,找到2017年和2018年的产量的代数式,根据条件找准等量关系式,列出方程.

3.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )

A.9人 B.10人 C.11人 D.12人

【答案】C

【解析】

【分析】

设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为x人,依题可得:

x(x-1)=55,

化简得:x2-x-110=0,

解得:x1=11,x2=-10(舍去),

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

4.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁1850吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少?若设二、三月份平均每月的增长率为x,则可得方程(  )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【详解】

第一个月是560,第二个月是560(1+x),第三月是560(1+x)2

,所以第一季度总计560+560(1+x)+560(1+x)2=1850,选D.

5.李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是( )

A.y=-2x+24(0<x<12) B.y=-x+12(0<x<24)

C.y=2x-24(0<x<12) D.y=x-12(0<x<24)

【答案】B

【解析】

【详解】

由实际问题抽象出函数关系式关键是找出等量关系,本题等量关系为“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米”,结合BC边的长为x米,AB边的长为y米,可得BC+2AB=24,即x+2y=24,即

y=-x+12.因为菜园的一边是足够长的墙,所以0<x<24.故选B.

6.某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是,则这种植物每个支干长出的小分支个数是(  )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设这种植物每个支干长出x个小分支,根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论

【详解】

设这种植物每个支干长出个小分支,

依题意,得:,

解得: (舍去),.

故选C.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用,解题关键在于列出方程

7.扬帆中学有一块长,宽的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为,则可列方程为(  )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.

【详解】

设花带的宽度为,则可列方程为,

故选D.

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.

8.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为米,则根据题意,列方程为()

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

把阴影部分分别移到矩形的上边和左边,可得种植面积为一个矩形,根据种植的面积为600列出方程即可.

【详解】

解:如图,设小道的宽为,

则种植部分的长为,宽为

由题意得:.

故选C.

【点睛】

考查一元二次方程的应用;利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点;得到种植面积的长与宽是解决本题的关键.

9.在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场,设有x个队参赛,根据题意,可列方程为()

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

共有x个队参加比赛,则每队参加(x-1)场比赛,但2队之间只有1场比赛,根据共安排36场比赛,列方程即可.

【详解】

解:设有x个队参赛,根据题意,可列方程为:

x(x﹣1)=36,

故选A.

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.

10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为(  )

A.200(1+x)2=1000

B.200+200×2x=1000

C.200+200×3x=1000

D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

【答案】D

【解析】

【分析】

根据增长率问题公式即可解决此题,二月为200(1+x),三月为200(1+x)2,三个月相加即得第一季度的营业额.

【详解】

解:∵一月份的营业额为200万元,平均每月增长率为x,

∴二月份的营业额为200×(1+x),

∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2,

∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)2=1000,

即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故选D.

【点睛】

此题考察增长率问题类一元二次方程的应用,注意:第一季度指一、二、三月的总和.

二、解答题

11.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.

(1)若降价3元,则平均每天销售数量为________件;

(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?

【答案】(1)26;(2)每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.

【解析】

【详解】

分析:(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;

(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.

详解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.

(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.

根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1200,

整理,得x2-30x+200=0,

解得:x1=10,x2=20.

∵要求每件盈利不少于25元,

∴x2=20应舍去,

∴x=10.

答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.

点睛:此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.

12.某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.

(1)求每个月生产成本的下降率;

(2)请你预测4月份该公司的生产成本.

【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%;(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

【解析】

【分析】

(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;

(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.

【详解】

(1)设每个月生产成本的下降率为x,

根据题意得:400(1﹣x)2=361,

解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).

答:每个月生产成本的下降率为5%;

(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元),

答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.

13.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?

【答案】10,8.

【解析】

【详解】

试题分析:可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得出方程 求出边长的值.

试题解析:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的 一边的长为m,由题意得 化简,得,解得:

当时,(舍去),

当时,,

答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.

考点:一元二次方程的应用题.

14.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

【答案】(1)4元或6元;(2)九折.

【解析】

【详解】

解:(1)设每千克核桃应降价x元.

根据题意,得(60﹣x﹣40)(100+×20)=2240,

化简,得 x2﹣10x+24=0,解得x1=4,x2=6.

答:每千克核桃应降价4元或6元.

(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.

∵要尽可能让利于顾客,∴每千克核桃应降价6元.

此时,售价为:60﹣6=54(元),.

答:该店应按原售价的九折出售.

15.在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.

销售量y(千克)

34.8

32

29.6

28

售价x(元/千克)

22.6

24

25.2

26

(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.

(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?

【答案】(1)当天该水果的销售量为33千克;(2)如果某天销售这种水果获利150元,该天水果的售价为25元.

【解析】

【分析】

(1)根据表格内的数据,利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式,再代入x=23.5即可求出结论;

(2)根据总利润每千克利润销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.

【详解】

(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,

,解得:,

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80.

当x=23.5时,y=﹣2x+80=33.

答:当天该水果的销售量为33千克.

(2)根据题意得:(x﹣20)(﹣2x+80)=150,

解得:x1=35,x2=25.

∵20≤x≤32,

∴x=25.

答:如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)根据表格内的数据,利用待定系数法求出一次函数关系式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.

16.“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为元(为正整数),每月的销售量为条.

(1)直接写出与的函数关系式;

(2)设该网店每月获得的利润为元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?

(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?

【答案】(1);(2)当降价10元时,每月获得最大利润为4500元;(3)当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.

【解析】

【分析】

(1)直接利用销售单价每降1元,则每月可多销售5条得出与的函数关系式;

(2)利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式求出最值;

(3)利用总利润,求出的值,进而得出答案.

【详解】

解:(1)由题意可得:整理得;

(2)由题意,得:

∵,

∴有最大值,

即当时,,

∴应降价(元)

答:当降价10元时,每月获得最大利润为4500元;

(3)由题意,得:

解之,得:,,

∵抛物线开口向下,对称轴为直线,

∴当时,符合该网店要求

而为了让顾客得到最大实惠,故,

∴当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案,正确得出与之间的函数关系式是解题关键.

17.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.

(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示);

(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?

【答案】(1)100+200x;(2)1.

【解析】

【详解】

试题分析:(1)销售量=原来销售量﹣下降销售量,列式即可得到结论;

(2)根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论.

试题解析:(1)将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是100+×20=100+200x斤;

(2)根据题意得:,解得:x=或x=1,∵每天至少售出260斤,∴100+200x≥260,∴x≥0.8,∴x=1.

答:张阿姨需将每斤的售价降低1元.

考点:1.一元二次方程的应用;2.销售问题;3.综合题.

18.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?

【答案】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.

【解析】

【详解】

试题分析:设AB的长度为x米,则BC的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.

试题解析:设AB的长度为x米,则BC的长度为(100﹣4x)米. 根据题意得 (100﹣4x)x=400,

解得x1=20,x2=5. 则100﹣4x=20或100﹣4x=80. ∵80>25, ∴x2=5舍去. 即AB=20,BC=20

考点:一元二次方程的应用.

19.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.

(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利多少元?

(2)设每件商品降价x元,则商场日销售量增加____件,每件商品,盈利______元(用含x的代数式表示);

(3)在上述销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2000元?

【答案】(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利1692元;

(2)2x;50﹣x.

(3)每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2000元.

【解析】

【分析】

(1)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论;

(2)根据“每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元,即可找出日销售量增加的件数,再根据原来没见盈利50元,即可得出降价后的每件盈利额;

(3)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再根据尽快减少库存即可确定x的值.

【详解】

(1)当天盈利:(50-3)×(30+2×3)=1692(元).

答:若某天该商品每件降价3元,当天可获利1692元.

(2)∵每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,

∴设每件商品降价x元,则商场日销售量增加2x件,每件商品,盈利(50-x)元.

故答案为2x;50-x.

(3)根据题意,得:(50-x)×(30+2x)=2000,

整理,得:x2-35x+250=0,

解得:x1=10,x2=25,

∵商城要尽快减少库存,

∴x=25.

答:每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2000元.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程(或算式).

20.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产量,某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg,且B品种的平均亩产量比A品种高100千克,A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.

(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克?

(2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%,而A品种的售价保持不变,A、B两个品种全部售出后总收入将增加,求a的值.

【答案】(1)A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克;(2)10.

【解析】

【分析】

(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克,根据题意列出方程组,解方程组即可得到答案;

(2)根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入,利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和,列出一元二次方程求解即可得到答案.

【详解】

(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克,由题意得

解得.

答:A.B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克

(2)根据题意得:.

令a%=m,则方程化为:.

整理得10m2-m=0,

解得:m1=0(不合题意,舍去),m2=0.1

所以a%=0.1,所以a=10,

答:a的值为10.

【点睛】

本题考查的是二元一次方程组的应用,一元二次方程的应用,掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键.

21.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:

(1)每千克茶叶应降价多少元?

(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?

【答案】(1)每千克茶叶应降价30元或80元;(2)该店应按原售价的8折出售.

【解析】

【分析】

(1)设每千克茶叶应降价x元,利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可;

(2)为了让利于顾客因此应下降价80元,求出此时的销售单价即可确定几折.

【详解】

(1)设每千克茶叶应降价x元.根据题意,得:

(400﹣x﹣240)(200+×40)=41600.

化简,得:x2﹣10x+240=0.

解得:x1=30,x2=80.

答:每千克茶叶应降价30元或80元.

(2)由(1)可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克茶叶某应降价80元.

此时,售价为:400﹣80=320(元),.

答:该店应按原售价的8折出售.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.

22.如图,在长方形ABCD中,边AB、BC的长(AB<BC)是方程x2-7x+12=0的两个根.点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动,运动时间为t(秒).

(1)求AB与BC的长;

(2)当点P运动到边BC上时,试求出使AP长为时运动时间t的值;

(3)当点P运动到边AC上时,是否存在点P,使△CDP是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) AB=3,BC=4;(2) t=4;(3) t为10秒或9.5秒或秒时,△CDP是等腰三角形.

【解析】

【详解】

试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长;

(2)结合图形,利用勾股定理求解即可;

(3)根据题意,分为:PC=PD,PD=PC,PD=CD,三种情况分别可求解.

试题解析:(1)∵x2-7x+12=(x-3)(x-4)=0

∴=3或=4 .

则AB=3,BC=4

(2)由题意得

∴,(舍去)

则t=4时,AP=.

(3)存在点P,使△CDP是等腰三角形.

①当PC=PD=3时, t= =10(秒).

②当PD=PC(即P为对角线AC中点)时,AB=3,BC=4.

∴AC= =5,CP1= AC=2.5

∴t= =9.5(秒)

③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于Q. ,

∴PC=2PQ=

∴(秒)

可知当t为10秒或9.5秒或秒时,△CDP是等腰三角形.

23.随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.

(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?;

(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.

【答案】(1)6万座;(2).

【解析】

【分析】

(1)2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4,即可求出结论;

(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,根据2020年底及2022年底全省5G基站数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.

【详解】

解:(1)由题意可得:到2020年底,全省5G基站的数量是(万座).

答:到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.

(2)设年平均增长率为,由题意可得:

解得:,(不符合,舍去)

答:2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.

24.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.

(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;

(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?

【答案】(1)20%;(2)能.

【解析】

【分析】

(1)设年平均增长率为x,则2015年利润为2(1+x)亿元,则2016年的年利润为2(1+x)(1+x),根据2016年利润为2.88亿元列方程即可.

(2)2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x),据此计算即可.

【详解】

(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意,得2(1+x)2=2.88,

解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).

答:该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率,那么2017年该企业年利润为2.88×(1+20%)=3.456(亿元),因为3.456>3.4,

所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用---增长率问题,根据题意寻找相等关系列方程是关键,难度不大.

25.阅读材料:各类方程的解法

求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=,x3=;

(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;

(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

【答案】(1)-2,1;(2)x=3;(3)4m.

【解析】

【分析】

(1)因式分解多项式,然后得结论;

(2)两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,注意验根;

(3)设AP的长为xm,根据勾股定理和BP+CP=10,可列出方程,由于方程含有根号,两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,

【详解】

解:(1),

所以或或

,,;

故答案为,1;

(2),

方程的两边平方,得

,,

当时,,

所以不是原方程的解.

所以方程的解是;

(3)因为四边形是矩形,

所以,

设,则

因为,

两边平方,得

整理,得

两边平方并整理,得

所以.

经检验,是方程的解.

答:的长为.

【点睛】

考查了转化的思想方法,一元二次方程的解法.解无理方程是注意到验根.解决(3)时,根据勾股定理和绳长,列出方程是关键.

26.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.

(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;

(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?

【答案】(1);(2)该公可若想获得10000万元的年利润,此设备的销售单价应是50万元.

【解析】

【详解】

分析:(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式;

(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据总利润=单台利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出结论.

详解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:

解得:,

∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.

(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据题意得:

(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,

整理,得:x2﹣130x+4000=0,

解得:x1=50,x2=80.

∵此设备的销售单价不得高于70万元,∴x=50.

答:该设备的销售单价应是50万元/台.

点睛:本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出函数关系式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.

27.某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.

(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?

(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天补助5元,按租房400天计算,试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?

【答案】(1)50%;(2)今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

【解析】

【分析】

(1)设年平均增长率为x,根据“2015年投入资金×(1+增长率)2=2017年投入资金”列出方程,解方程即可;(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可.

【详解】

(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意,

得:1280(1+x)2=1280+1600,

解得:x=0.5或x=﹣2.5(舍),

答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%;

(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据题意,

得:1000×8×400+(a﹣1000)×5×400≥5000000,

解得:a≥1900,

答:今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

考点:一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.

28.小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元).

(1)求y与x的函数关系式.

(2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元?

(3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润.

【答案】(1);(2)10元;(3)x为12时,日销售利润最大,最大利润960元

【解析】

【分析】

(1)根据题意得到函数解析式;

(2)根据题意列方程,解方程即可得到结论;

(3)根据题意得到,根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】

解:(1)根据题意得,,

故y与x的函数关系式为;

(2)根据题意得,,解得:,(不合题意舍去),

答:要使日销售利润为720元,销售单价应定为10元;

(3)根据题意得,,

∴当时,w随x的增大而增大,

当时,,

答:当x为12时,日销售利润最大,最大利润960元.

【点睛】

此题考查了一元二次方程和二次函数的运用,利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式,进一步利用性质的解决问题,解答时求出二次函数的解析式是关键.

三、填空题

29.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为______________.

【答案】16

【解析】

【详解】

分析:首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理,确定第三边的长,进而求其周长.

详解:解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7,

∵3<第三边的边长<9,

∴第三边的边长为7.

∴这个三角形的周长是3+6+7=16.

故答案为16.

点睛:本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系.已知三角形的两边,则第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.

30.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为_____.

【答案】x(x﹣1)=21

【解析】

【详解】

【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数为x(x﹣1),即可列方程.

【详解】有x个队,每个队都要赛(x﹣1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得:

x(x﹣1)=21,

故答案为x(x﹣1)=21.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,弄清题意,找准等量关系列出方程是解题的关键.

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