第二讲和、差、倍数应用题71 第二讲和、差与倍数的应用题 做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算，而且要多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始. 加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练，就从这 一、和差问题 说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了 .是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：大数 =（和 +差） 2 小数 =（和 -差） 2 会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算. 先看几个简单的例子. 例 1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95 分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？解： 95 乘以 2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此数学得分 =（9528） 299. 语文得分 =(952-8） 2 91. 答：张明数学得99 分，语文得91 分. 注：也可以从952-9991 求出语文得分 . 例 2 有 A，B，C 三个数， A 加 B 等于252，B 加C 等于197， C 加 A 等于149，求这三个数 . 解： 从 B+C 197 与 A+C 149，就知道B 与 A 的差是 197-149，题目又告诉我们，B与 A 之和是 252.因此B=（252 197-149）2 150，A252-150 102，C149-102 47. 答： A， B，C 三数分别是102，150，47. 注：还有一种更简单的方法（A+B）（ BC）（ C A） 2（ ABC）. 上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和. A B C（ 252197149） 2299.因此C299-252 47，B299-149150，A299-197 102. 例 3 甲、乙两筐共装苹果75 千克，从甲筐取出5 千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多 7 千克 .甲、乙两筐原各有苹果多少千克？解： 画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多575 17（千克）因此，甲、乙两数之和是75，差为 17. 甲筐苹果数 =（7517） 2 46（千克） . 第二讲和、差、倍数应用题72 乙筐苹果数 =75-4629（千克） . 答：原来甲筐有苹果46 千克，乙筐有苹果29 千克 . 例 4 张强用 270 元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140 元，买外衣和鞋比帽子多花210 元，张强买这双鞋花多少钱？解： 我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是270 元，差是210 元. 外衣和鞋价之和=（270210） 2 240（元） . 外衣价与鞋价之差是140，因此鞋价 =（240-140） 2 50（元） . 答：买这双鞋花50 元 . 再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了. 例 5 李叔叔要在下午3 点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12 点 10 分就停了 .他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10 分钟 .夜里 11 点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9 点整 .假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？解： 到厂时看钟是2 点 50 分，离家看钟是12 点 10 分，相差 2 小时 40 分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间 +路上用的时间=160（分钟） . 晚上下班时，厂里钟是11 点，到家看钟是9 点，相差 2 小时 .这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了. 因此钟停的时间 -路上用的时间 =120（分钟） . 现在已把问题转化成标准的和差问题了. 钟停的时间 =（160120）2 140（分钟） . 路上用的时间=160-14020（分钟） . 答：李叔叔的钟停了2 小时 20 分. 还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：以李叔叔家的钟计算，他在12 点 10 分出门，晚上9 点到家，在外共8 小时 50 分钟，其中 8 小时上班， 10 分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间=（ 8 小时 50 分钟-8 小时 -10 分钟） 220（分钟） . 钟停时间 =2 小时40 分钟 -20 分钟=2 小时 20 分钟 . 例 6 小明用 21.4 元去买两种贺卡，甲卡每张1.5 元，乙卡每张0.7 元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2 元.问小明买甲、乙卡各几张？解： 甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7 0. 8（元），售货员错找还小明3.2 元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.20.84（张） . 现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意1.5甲卡张数 +0.7乙卡张数 =21.4. 1.5乙卡张数 +0.7甲卡张数 =21.4-3.2. 从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是21.4（ 21.4-3.2）（ 1.5 0.7）18（张） . 因此，甲卡张数是（18 4）2 11（张） . 第二讲和、差、倍数应用题73 乙卡张数是18-11 7（张） . 答：小明买甲卡11 张、乙卡7 张. 注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲. 例 7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（ A）的周长是 240 厘米，大长形（B）的周长是258 厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？解： 大长方形（ A）的周长是原长方形的长 2+宽 4. 大长方形（ B）的周长是原长方形的长 4+宽 2. 因此， 240+258 是原长方形的长 6+宽 6. 原长方形的长与宽之和是（240258） 683（厘米） . 原长方形的长与宽之差是（258-240） 2 9（厘米） . 因此，原长方形的长与宽是长：（ 839） 2 46（厘米） . 宽：（ 83-9） 237（厘米） . 答：原长方形的长是46 厘米、宽是37 厘米 二、倍数问题 当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子. 例 8 有两堆棋子，第一堆有87 个，第二堆有69 个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3 倍. 解：两堆棋子共有8769156（个） . 为了使第二堆棋子数是第一堆的3 倍，就要把156 个棋子分成1 34（份），即每份有棋子156 （ 13） 39（个） . 第一堆应留下棋子39 个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948（个） . 答：应从第一堆拿48 个棋子到第二堆去. 例 9 有两层书架，共有书173 本.从第一层拿走38 本书后，第二层的书比第一层的2倍还多 6 本.问第二层有多少本书？解：我们画出下列示意图：我们把第一层（拿走38 本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2 份还多6第二讲和、差、倍数应用题74 本.再去掉这6 本，即173-38-6129（本）恰好是 3 份，每一份是1293=43（本） . 因此，第二层的书共有432 + 692（本） . 答：书架的第二层有92 本书 . 说明：我们先设立“1 份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然. 例 10 某小学有学生975 人.全校男生人数是六年级学生人数的4 倍少 23 人，全校女生人数是六年级学生人数的3 倍多 11 人.问全校有男、女生各多少人？解：设六年级学生人数是“1 份” . 男生是 4 份-23 人. 女生是 3 份+11 人 . 全校是 7 份-（23-11）人 . 每份是（ 975+12） 7141（人） . 男生人数 =1414-23541（人） . 女生人数 =975-541 434（人） . 答：有男生541 人、女生434 人. 例 9 与例 10 是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？70 双皮鞋 .此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2 倍.问原来两种鞋各有几双？解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4 份，售出1 份，还有3 份.那么原有皮鞋增加70 双后将是32=6（份） .40070 将是3+1610（份） .每份是（40070） 1047（双） . 原有旅游鞋474=188（双） . 原有皮鞋476-70212 （双） . 答：原有旅游鞋188 双，皮鞋212 双. 设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷 .因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中. 下面例子将是本节的主要内容年龄问题. 年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变. 例 12 父亲现年50 岁，女儿现年14 岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5 倍？解：父女相差36 岁，这个差是不变的.几年前还是相差36 岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大36 岁.这 36 岁是女儿年龄的（5-1）倍 . 36（ 5-1） 9. 当时女儿是9 岁， 14-95，也就是5 年前 . 答： 5 年前，父亲年龄是女儿年龄的5 倍. 例 13 有大、小两个水池， 大水池里已有水300 立方米 .小水池里已有水70 立方米 .现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3 倍.问每个水池注入了多少立方米的水 . 解：画出下面示意图： 第二讲和、差、倍数应用题 7 5 我们把小水池注入水后的水量算作1 份，大水池注入水后的水量就是3 份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是 2 份. 因此每份是（300-70） 2115（立方米） . 要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每个水池要注入45 立方米的水 . 例 13 与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”. 例 14 今年哥俩的岁数加起来是55 岁.曾经有一年， 哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2 倍时， 我们设那时弟弟的岁数是1 份，哥哥的岁数是 2 份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1 份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1 份. 题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是213（份） . 今年，哥弟俩年龄之和是32=5（份） . 每份是555 11（岁） . 哥哥今年的岁数是11333（岁） . 答：哥哥今年33 岁. 作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.
例 15 父年 38 岁，母年36 岁，儿子年龄为11 岁. 问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4 倍？解：现在父母年龄之和是3836 74. 现在儿子年龄的4 倍是11444.相差74-4430. 从 4 倍来考虑，以后每年长1 44，而父母年龄之和每年长112. 为追上相差的30，要30（ 4-2） 15（年）答： 15 年后，父母年龄之和是儿子年龄的4 倍. 请读者用例15 的解题思路，解习题二的第7 题.也许就能完全掌握这一解题技巧了. 请读者想一想，例15 的解法，与例12 的解法，是否不一样？各有什么特点？我们也可以用例15 解法来解例12.具体做法有下面算式：（14 5-50）（ 5-1）5（年） . 不过要注意145 比 50 多，因此是5 年前. 三、盈不足问题
在我国古代的算书中，九章算术是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题. 例 16 有一些人共同买一些东西，每人出 8 元，就多了 3 元；每人出 7 元，就少了 4 元。那么有多少人？物价是多少？第二讲和、差、倍数应用题76 解：“多3 元”与“少4 元”两者相差347（元） . 每个人要多出8-71（元） . 因此就知道，共有71 7（人），物价是87-353（元） . 答：共有7 个人一起买，物价是53 元. 上面的 34 可以说是两个总数的相差数.而 8-7 是每份的相差数.计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子 . 例 17 把一袋糖分给小朋友们，每人分10 粒，正好分完；如果每人分16 粒，就有 3 个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？解一： 3 位小朋友本来每人可以分到10 粒，他们共有的10 3 30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（ 16-10）5（人） . 再加上这3 位小朋友，共有小朋友5 3 8（人） .这袋糖有10（ 5 3） 80（粒） . 解二：如果我们再增加163 粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（ 16-10） =8（人）这袋糖有80 粒. 答：这袋糖有80 粒. 这里，163 是总差，（ 16-10）是每份差，8 是份数 . 例 18 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6 人；如果减少一条船，每条船正好坐9 人.这个班共有多少名同学？解：如果每条船坐6 人，就要增加一条船，也就是现在有6 个人无船坐；如果每条船坐9 人，可以减少一条船，也就是还可以多来9 个人坐船 .可以坐船的人数，两者相差6 9 15（人） . 这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船（6 9） (9-6）5（条）这个班的同学有65 6 36（人） . 答：这个班有36 人. 例 19 小明从家去学校，如果每分钟走80 米，能在上课前6 分钟到校，如果每分钟走50 米，就要迟到3 分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？解一： 以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走80 米，就可以多走806（米）；如果每分钟走50米，就要少走503（米） .请看如下示意图：因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（806 503） （ 80- 50）21（分钟） . 家至学校距离是第二讲和、差、倍数应用题77 800（ 21-6）1200（米）或 50 （ 21+3）1200（米） . 答：小明家到学校的路程是1200 米. 解二：以每分钟80 米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点. 用每分钟50 米速度，就要多用63= 9（分种） .这 9 分钟所走的50 9（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟80 米所需时间是50（ 63）（ 80- 50）15（分钟）再看两个稍复杂的例子. 例 20 一些桔子分给若干个人，每人5 个还多余10 个桔子 .如果人数增加到3 倍还少 5个人，那么每人分2 个桔子还缺少8 个，问有桔子多少个？解：使人感到困难的是条件“3 倍还少 5 人”.先要转化这一条件. 假设还有10 个桔子，10 25，就可以多有5 个人，把“少5 人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3 倍人数，也相当于按原人数每人给23=6（个） . 每人给 5 个与给 6 个，总数相差1010 8 28 (个） . 所以原有人数28（ 6-5)=28（人） . 桔子总数是5 28 10 150（个） . 答：有桔子150 个. 例 21 有一些苹果和梨.如果按每 1 个苹果 2 个梨分堆， 梨分完时还剩5 个苹果， 如果按每 3 个苹果 5 个梨分堆，苹果分完了还剩5 个梨 .问苹果和梨各多少？解一：我们设想再有10 个梨，与剩下5 个苹果一起，按“1 个苹果、 2 个梨”前一种分堆，都分完 .以后一种“ 3 个苹果、 5 个梨”分堆来看，苹果总数能被3 整除.因此可以把前一种分堆，每 3 堆并成一大堆，每堆有3 个苹果， 23 6（个）梨 .与后一种分堆比较：每堆苹果都是3 个.而梨多 1 个（ 6-51）.梨的总数相差设想增加10 个+剩下 5 个=15 个. （10 5）（ 6- 5）15. 就知有 15 个大堆，苹果总数是153 45（个） . 梨的总数是（455） 280（个） . 答：有苹果45 个、梨 80 个. 解二：用图解法. 前一种分堆，在图上用梨2 份，苹果 1 份多 5 个来表示 . 后一种分堆，只要添上3 个苹果，就可与剩的5 个梨又组成一堆.梨算作 5 份，苹果恰好是 3 份. 将上、 下两图对照比较，就可看出，5 3 8 （个） 是下图中 “半份” ，即 1 份是16.梨是5 份，共有16 5 80（个） .苹果有162.5 5 45（个） .
