四个古典数学问题
早期希腊数学家提出的四个几何问题在数学中已成为经典问题。这些是:
立方体的加倍
构造一个立方体，其体积是给定立方体的两倍。
2.角三等分
任意三等分一个角。
3.一个圆的正方形化
作一个面积等于给定圆的正方形。
4. 画一个正七边形(有7条边的多边形)。
这些问题之所以具有传奇色彩，并不是因为它们没有解决方案，也不是因为它们的解决方案异常困难。不，希腊数学家已经找到了许多简单的答案。问题在于，所有已知的解都违反了这类问题的一个重要条件，这是希腊数学家自己强加的条件:
有效解决问题的方法被认为是由有限数量的步骤仅两种:用直尺画一条通过两点的直线和与给定的中心和半径画一个圆。
只有在19世纪，人们才证明，自我强加的约束并不存在解决方案。
立方体加倍
其中最著名的是“翻倍魔方”（立方体加倍），通常被称为迪利安问题，因为传说迪利安人曾向柏拉图咨询过这个问题。另一种说法是，公元前430年雅典人求助于提洛斯的牧师，希望能阻止瘟疫肆虐他们的国家。阿波罗建议他们把他的立方体祭坛做成一个双倍立方体的形状。由于几次试图让神满意的尝试都失败了，瘟疫只会恶化，最后他们转向柏拉图寻求建议。根据数学家埃拉托斯特尼写给埃及国王托勒密的一封信，欧里庇得斯在他的一部悲剧中提到了德里安问题。
读者可以自己证明如果体积是一倍，则正方体的边长将是2的立方根倍。用直尺和圆规无法做出这个长度。
三等分角
三等分一个角可能会有困难，这是相当令人惊讶的。在经典的框架中，人们画两种线:直线和圆。同样的简单方法也适用于平分直线段和圆弧:
三等分线段的问题与线段的n等分问题一样难。然而，一般的三等分问题和角度问题(即任意角度的三等分)在有限的步骤中是无法解决的。这里必须指出两方面的难度。
首先，有些角度可以用尺子和圆规进行三等分。一个明显的例子是四分之三的直角- 67.5度。(这个角本身是可构造的，因为它是由两个连续的角平分得到的。随后再次平分一次。)30度角(画一个边为1，斜边为2的直角三角形)和45度角(直角等分)都是可以构成的。因此，后者也承认经典的三分法。然而，这也是困难所在，正如上面所述，任意角度不能用尺子和指南针进行三等分。
其次，考虑几何级数1/4 + 1/16 + 1/64 +…加起来是1/3。一旦我们知道如何平分一个角，我们也可以求出它的2n次部分，对于任何n。特别地，可以构造1/4,1/16，…在任何角度，原则上，在无数个步骤之后找到它的第三个角度。这个解决方案是通用的，但需要禁止的(无限的)步骤数。
1837年，皮埃尔·洛朗·万泽尔(Pierre Laurent Wantzel, 1814-1848)解决了这个问题，他证明了在经典框架下无法三等分60度角。
构造一个正七边形
3-、4-、5-和6-边形(即正三角形、正方形、正五边形和正六边形)都是很容易构造的。八边形可在具有单角等分的正方形的基础上构造。所有由上述四个边数加倍而得到的多边形也是可构造的。但正七边形是无法用直尺和圆规构造出。
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1796年，19岁的高斯证明了正十七边形(17边多边形)是可以构造的。如高斯所示，十七边形只是可构造正多边形族中的一个特殊情况。
圆化正方形
令人惊讶的是，引用的三个问题的不可能性证明:立方体的加倍、角的三等分和构造正七边形，都在同一个框架内。每一个都取决于证明某些三次多项式方程的根是不可构造的。
圆的平方问题是一个完全不同的范畴。这个问题在19世纪后期得到了解决，当时π被证明是超越数。由于不具有代数性质，它就自动地不可构造。然而，半径为1的圆的面积正是π。如果一个有这样面积的正方形是可构造的，那么这个数本身也可以构造的，实际上这是不可能的。
