混沌至今在数学上并没有一个真正被所有数学家接受的定义. chaos这个词的使用情况跟它自己一样混乱, 而这个词进入数学及其他科学和非科学的领域并广为人知一方面由于与人们日常认识的反差, 另一方面很大程度上也是概念炒作的结果(科学家的水平往往不与名气成正比, 把一个概念炒火了就可能意味着更多的名利或者借此灌水发论文).数学家对混沌这一概念普遍的理解主要是指系统的复杂性(对未来的不可预测性)较高. 至于复杂性如何判定或描述则众说纷纭. 题目所说的三种性质是数学家Devaney对混沌的定义, 也称为Devaney混沌. 题目中虽然没有给出严格的数学定义, 但就基本想法来说抓住了要领.注意的是这个定义的纯数学版本是完全拓扑的, 确实不够直观. 三个性质中后两条又能退出第一条. 而混沌的关键就在于第一条. 第二条其实只是保证了系统的独立性, 意味着系统是一个整体而不可分割. 就好像月亮绕着地球转不能拆开, 而如果考虑整个太阳系, 土星的卫星们跟着土星转, 就跟地球月亮没什么关系了, 那么太阳系就可以分成很多子系统. 当然每个子系统是可以满足第二条的, 也就可以是"Deveney混沌"的. 再注意第二条不叫拓扑混合, 叫拓扑传递. 条件比拓扑混合要弱.在满足第二条的情况下, 第一条和第三条其实都是在说系统的复杂性. 本质的第三条, 其实就是人们常说的"蝴蝶效应". 蝴蝶效应的本质不是小变化大幅度改变未来的结果, 而是微小误差经过系统演变不断放大导致未来系统长时间的演变方式难以预测. 比如超过7天的天气预报必然不准, 因为即便模型百分百精确, 测量和计算的精度也有限. 真正的混沌指的就是在系统确定的情况下(即对应一个初值只有一种未来的可能性)由于初值的微小差别而导致的系统未来的"貌似"随机现象. 举个栗子, 比如从圆周率π开始, 每秒钟把整数部分去掉, 然后再乘以10, 也就是所有数字前进一位.这是个完全确定的过程, π也是个确定的数. 但即便你能背下1000位, 这个数在20分钟后会变成什么, 对你来说也是完全未知的.最后说周期轨道. 在自然生活中很多我们总结的所谓规律, 都是周期现象. 复杂系统的变化, 如果有规律, 基本都是周期的变化, 而且是稳定的周期现象, 也就是不管初值如何, 最终都会呈现出来的周期现象. 就好像钟摆, 又比如宇宙最初地球可能不绕着太阳转, 后来跑到太阳身边周期性的运动.而一个系统可能有不同的周期, 即不同周期的周期轨道. 比如地球绕太阳转一圈的时间和月亮绕地球转一圈的时间就不一样.又如(刚体)钟摆, 可以在低端附件摇摆, 也可能立在顶端不动(不动也是周期), 但顶端不动是不稳定的, 稍稍偏一点就掉下来了, 所以通常观察不到. 通常我们只能观察到稳定的周期现象. 但是当周期轨道稠密的时候, 往往就没有稳定的周期轨道了, 系统可能呈现出各种拟周期(即"貌似"而非真正的周期), 而通常拟周期都不会长久, 总体上看就是貌似随机的运动了.最后补充, 现在我所在动力系统领域数学家们对混沌的定义比较普遍的意见是由熵来刻画的, 大概就是说初值的小变化在未来平均被放大的倍数. 取对数之后一般是非负的, 一般人是正的熵就意味着混沌了. 熵的好处在于可以描述系统的复杂程度即"混沌的程度", 即比较不同的系统哪个"更混沌".