题目看着贼简单：如图∠A＝60°，∠EBC＝∠DCB＝30°，求证BD＝DE＝EC。
刚看这道题，觉得应该挺简单的，图形也不复杂，等腰、全等变换几次，应该就可以了。没想到整了一个月才算有结果了，中间也参考大神“共圆”的思路，但发现过程不严谨，禁不住推敲。
最终证明如下：
在BE上取一点G，使∠GCB＝∠DBC
∴∠GCB－30°＝∠DBC－30°
即∠GCF＝∠DBF
∵BC＝BC
∴△GCB≌△DBC（角边角）
∴GC＝DB
∠EGC＝∠GFC＋∠GCF
＝∠FBC＋∠FCB＋∠GCF
＝60°＋∠GCF
∠GEC＝∠A＋∠DBF
＝60°＋∠DBF
∴∠EGC＝∠GEC
∴EC＝GC
∴DB＝EC
再分别作DH⊥BC、EI⊥BC，BE和DC于点H、I
∠FEI＝90°－∠FBC＝60°
∠EFI＝∠FBC＋∠FCB＝60°
∴△EFI为等边三角形
同理可知△DFH也是等边三角形
∠CEI＝∠CEB－∠FEI
＝∠CEB－60°
＝∠A＋∠DBH－60°
＝∠DBH
∠BDH＝∠BDC－∠FDH
＝∠BDC－60°
＝∠A＋∠ECI－60°
＝∠ECI
∴△BDH≌△ECI（角边角）
∴BH＝EI＝EF
∵DH＝DF
∠DHB＝∠DFE＝180°－60°
∴△DHB≌△DFE（边角边）
∴DB＝DE
∴BD＝DE＝EC
我看一眼，两分钟就有思路了，就连一个AF。
首先以F为圆心，FB为半径作圆F，则因为∠BFC=120°，∠A=60°，A一定在圆F上（圆周角的逆定理，角度满足两倍关系与在圆上互为充要条件），推出FA=FB，∠DAF=∠DBF。
又因为∠DFE=120°，∠A=60°，推出ADFE四点共圆（同一弦在两侧圆周角互补与四点共圆也是互为充分必要条件，可以互证），推出∠DAF=∠DEF。
综上可得∠DBF=∠DAF=∠DEF，所以DB=DE。
CE同理
如图，角DFE=角BFC=120度，
角DAE=60度，所以DFEA四点共圆，再做三角形的外接圆，F为圆心，这样就很容易证得BD=DE=EC
角EFC=60，以FC为边构造等边三角形，证明一次全等，以FE为边再构造一个等边三角形，再证明一次全等。太简单了啊