找次品问题之次品特点未知的“通用模型”
2018年8月11日星期六
本文给出一般地解决“n找1次品特点未知”的通用模型。
首先重申问题的假定：
1.次品单以质量轻重界定；
2.次品唯一；
3.其余合格品质量均一致。
问题的技术手段：使用无砝码天平对比称重。
问题的求解目标：以最少称重次数找出次品，获知次品轻重特点，给出完整的、包含各种可能的称重实验步骤。
对于一般地n，根据“尽量均分为三”的最优策略，作出以下分类：
（1）n＝3a
（2）n＝3a＋1
（3）n＝3a＋2
其中：n、a∈N，a≥1。（若a＝0，则有n＝0、1、2。这三种情况没有讨论的意义，0找1不存在，1找1次品唯一不用找，2找1次品特点未知永远找不出。故而将讨论限定为n≥3。上述分类实为n除以3余数为0、1、2的三种情况。）
由于情况（3）的讨论涵盖情况（1）、（2），本文以情况（3）为主展开，情况（1）、（2）可轻松类比得出。
（一）对于n＝3a＋2如下分组：
n（3个最大相同组，剩余组）＝n（A组，B组，C组，剩余组）＝n（a，a，a，2）
（二）一个引理：
如果对比2次可以得出次品特点，则至少需要3个相同分组，如下：
|A|＝|B|＝|C|
（|A|：表示集合A的元素个数，余同）
（重要程度★★★★）
第1次：（A）←→（B）
第2次：（A）←→（C）
0－1：若A与B平衡，则C内含次品，第2次称重可知次品轻重；
1－0：若A与B不平衡，且第2次A与C平衡，则B内含次品，根据第1次称重情况可知次品轻重；
1－1：若A与B不平衡，且第2次A与C不平衡，则A内含次品，根据第1次或第2次称重情况均可知次品轻重。
（符号的意义请参阅前文《找次品问题之次品特点未知的特例1——5找1“破组法”》）
（三）一个特例：
a＝0时，n＝2，2找1次品特点未知，永远找不出，原因可以理解为：不满足引理中“3个相同组”的条件。
（四）对于n＝3a＋2取3个“最大相同组”：
n（a，a，a，2）＝n（a－1，a－1，a－1，5）＝n（a－2，a－2，a－2，8）＝……
只有取3个最大相同组（a，a，a）时，剩余组才能保持最小，此时剩余组为余数2。
以上分组将n分为四组，为了使模型更接近“均分为三”的最优策略，取剩余组最小。下面的推理过程及结论，将有助于理解这样做的原因。
（五）开始称重实验：
第一步：（A）←→（B）
第二步：（A）←→（C）
第三步：
分两种情况讨论：
Ⅰ.次品在3个最大相同组中。
此时，前两步出现：
1－1：次品在A组中，次品特点已知；
1－0：次品在B组中，次品特点已知；
0－1：次品在C组中，次品特点已知。
问题转化为“n－2找1次品特点已知”，称重总次数为：
（其中：m下标n－2表示“n－2找1次品特点已知的次数”）
Ⅱ.次品在剩余组中。
也即前两步称重出现：0－0的情况。
设剩余组中的2个产品为：α和β。
只有一种结果：1。
从A、B、C三个相同组中任选一合格品：γ。任与α或β进行对比称重：
1：说明α是次品，根据①或②轻重已知；
0：说明β是次品，根据①轻重已知。
该种情况下：共称重2＋2＝4次。
（六）最终结论：
（重要程度★★★★★）
（七）模型求解示例：
例1 29找1次品特点未知。
关于“n找1次品特点已知”的次数再次见下表，个中道理请参阅前文《小学数学找次品问题的一种简洁写法》。
“n找1次品特点已知”的次数对照表
例2 28找1次品特点未知。
例3 27找1次品特点未知。
例4 4找1次品特点未知。
例5 10找1次品特点未知。
例6 3找1次品特点未知。
（八）补充说明：
1.本模型的应用分为三种情况（n mod 3＝0、1、2），总体而言，并不保证提供“n找1次品特点未知”的最优次数，但一定能提出“可行解”及具体“称重实验步骤”；
2.与“破组法”、“换组法”相比，本模型中各组彼此独立，互不影响，实验操作轻松，理解容易，采用了一种“简便的模型”，但是，并不排除潜在的更优模型；
3.本模型发展了“公式A”的思路，期望用“额外1次称重”与“正常首次称重”获知次品特点，并将次品范围“从三组中缩小为其中一组”。亦可见：“公式A”的结果在3｜n（整除）的情况下与本模型结果完全一致；在3 ∤n（不整除）的情况下，当n值恰为3的幂次方加1、加2的情况下，“公式A”的结果会出错。所谓“3的幂次方”指正常求“n找1次品特点已知”的次数的规律，详见前文《……简洁写法》。
再会。