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希尔伯特空间

时间:2022-04-11 15:04:14 热评 我要投稿

希尔伯特空间(英语:Hilbert space),完备的内积空间,n维欧几里得空间的推广。又称无穷维欧化空间。欧几里得空间Rn最突出的特点是向量的内积,两个向量x=(x1,x2…,xn)∈Rn,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn的内积是,由内积可导出两个向量的互相垂直成正交:x与y互相垂直(x,y)=0,记作x⊥y,这与三维欧几里得空间中向量相互垂直的几何概念一致,有了正交概念就可进而引入正交投影、正交基等一系列概念,希尔伯特空间就是有限维内积空间向无限维线性空间的推广。R3中基本概念和研究方法也被相应地拓广到希尔伯特空间中,希尔伯特空间是泛涵分析研究的基本对象之一,并且成为量子力学、积分方程、正交级数理论等方面研究问题的重要工具 ,设 l2=(x1,x2…xn,…) :每一xn为实数 ( 或复数),对于x=(x1,x2…,xn,…)、y=(y1,y2,…,yn,…)∈l2, "x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn ,…),ax=(ax1,ax2,…,axn,…),则l2为一线性空间,规定内积,则l2成为一个希尔伯特空间。