当前位置: > 热闻

数学史上最重要的事件之一——求解三次方程,复数的黎明

时间:2022-04-23 14:19:56 热闻 我要投稿

多项式方程自古以来就一直被研究。今天,它仍然是现代代数的重要组成部分。巴比伦人知道如何解二次方程,也就是形式为ax^2+ bx + c = 0的方程。2000多年后,波斯数学家奥马尔·海亚姆首次尝试解三次方程。三次方程的形式是ax^3+ bx^2+ cx + d = 0。

海亚姆是一位杰出的数学家,他对科学和数学做出了很大的贡献,他计算了一年有365.24219858156天。相比之下,今天的计算结果是一年有365.242190天。 海亚姆找到了三次方程的几何方法。通过计算二次曲线,他能够求出这些方程的正解,但这些解都是几何的,海亚姆还想找到三次方程的代数解。 文艺复兴时期的欧洲 大约400年后,才有人发现三次方程的代数公式。在15世纪,数学的中心又回到了欧洲,那时已经出现了阿拉伯数字和一些代数技术。 在早期的欧洲,人们更喜欢用罗马数字来计算,但是阿拉伯数字的优势很快就显现出来了,如LXX+XXX = C用阿拉伯数字表示为:70 + 30 = 100。 然而,当时的教会坚持使用罗马数字,在一段黑暗的历史时期,阿拉伯数字在意大利实际上是被禁止的。一开始,只有外国推销员才会使用这种能在几秒钟内计算出奖金和利息的“黑魔法”。 最终,阿拉伯数字取得了胜利。在斐波那契数列将这种阿拉伯数字引入欧洲的几百年后,数学界终于成熟到可以在代数上处理三次方程了。 回顾一下当时的数学家是如何处理方程的。因为当时的数学家不知道负数,所以他们总是把系数写成正数。因此,他们把多项式方程分成若干类。例如,二次方程ax²+ bx + c = 0有三个,即:

ax^2 + bx = c,

ax^2 = bx +c,

ax^2 + c = bx,

其中a,b,c是正数。 事实上,当时的欧洲人也不知道数字0,所以对于“缺乏”某些 项 的方程,必须遵循特殊的规则。每个类都有自己的公式。 三次方程当然也是如此,据说海亚姆考虑了14种不同类型的三次方程,它们都有不同的几何方法。 求解三次方程的热潮 第一个得出三次方程公式的人是西庇安·德尔费罗,他发现了x^3+ bx + c = 0的三次方程的解的公式,其中b, c>0。 如果德尔费罗在今天发现了这个公式,他会立即发表它,但在当时情况就大不相同了。因为在文艺复兴时期,申请大学教授职位的候选人要相互提问,解决问题多的人就能获得职位(当然,候选人要会解自己提出的问题)。在一些大学,甚至 有 可以挑战现任教授的职位。 因此,毫不奇怪,如果你发现了一个新的公式,你会把它作为一个秘密,然后在这样的决斗中用作数学 核武器 ,从而确保自己得到一份工作。 因此,德尔费罗从未发表过他的发现。但在他去世之前,他把自己的秘密告诉了他的学生。 复数的黎明 现在,我们知道这些方程的解是x轴和相应多项式的图形的交点。卡尔达诺发现了一个公式,即三次方程x^3- ax - b = 0的正解,公式如下: 其中a和b是正数。 考虑方程x^3- 15x - 4 = 0。如果我们使用卡尔达诺公式,就会得到有趣的结果: 在这个表达式中,我们看到了一些负数的平方根。当时,他们不 知道 如何解释。卡尔达诺知道这个 表达式 应该给出正解;在这个例子中,他知道这个解应该是4。那么他公式中出现的 负号怎么解释呢? 邦贝利得出: 和 然后得到x = 4(根号项被抵消)。 当时的数学家们很快意识到,如果我们把这些“负数的平方根”当作实数来使用,那么就可以使用卡达诺公式得出三次和四次方程的解。 在某种魔力的作用下,所有“负数的平方根”总是被抵消了。当时的许多数学家认为这些奇怪的平方根并不是真正的“合法数字”,只有在必要时才会使用它们。他们担心这些计算不一致,有一天会遇到严重的矛盾。 直到18世纪,莱昂哈德·欧拉才将这些数字与函数理论联系起来。然而,欧拉并没有复数的几何概念,他也不知道复数到底代表什么。他还认为代数基本定理(n次多项式有n个复数根)是正确的,但他从未给出令人信服的证明。 许多伟大的数学家试图证明 代数 基本定理,但都失败了。卡尔·弗里德里希·高斯是第一个正式证明这个定理的人。 18世纪末,这些“负数的平方根”被韦塞尔证明和实数一样合法,它们只是在另一个维度,而这个维度是当时的数学家所看不到的。这些数字被称为复数,如今,它们被认为是数字系统的一部分,并被证明与其他数字是一致的。 最后的感想 有时在数学中,我们需要实验,并成为数学家爱德华·弗伦克尔所说的“数学歹徒”。韦塞尔、高斯、柯西、黎曼、维尔斯特拉斯和其他人把复数建立在一个坚实的基础上,并证明了我们需要 它们 来解决很多实际问题。例如,黎曼证明了我们可以用它们来研究质数,量子力学的研究也离不开复数。