本文内容选自2021年福建省中考数学压轴题，题目涉及正方形的十字模型．题目比较典型，难度中等．
【中考真题】
（2021·福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．（1）求证：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
【分析】
1）设AG与DE的交点为O，易得点O为AA′的中点，点E为AF的中点，可以得到OE是中位线，因此结论成立．
（2）先猜测再证明，由（1）可得∠AF′G＝∠FBG＝90°，那么点F，B，G，A"四点共圆，连接GF，可以得到∠GA′B＝∠GFB＝45°．
（3）根据两边对应成比例且夹角相等证明△A"FB∽△A"GC，得到相似比为1:2即可．
【答案】
解：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，
∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO＝A"O，AA"⊥DE，∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴DE∥A"F；（2）∵AA"⊥DE，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，
， ∴△ADE≌△BAG（ASA）， ∴AE＝BG， ∴BF＝BG， ∴∠GFB＝∠FGB＝45°， ∵∠FA"G＝∠FBG＝90°， ∴点F，点B，点G，点A"四点共圆， ∴∠GA"B＝∠GFB＝45°； （3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a， ∴AD＝BC＝3a，FG a， ∴CG＝2a， 在Rt△ADE中，DE a＝AG， ∵sin∠EAO＝sin∠ADE， ∴ ， ∴ ， ∴OE a， ∴AO a＝A"O， ∴A"G ， ∵AO＝A"O，AE＝EF， ∴A"F a a， ∵∠FA"G＝∠FBG＝90°， ∴∠A"FB+∠A"GB＝180°， ∵∠A"GC+∠A"GB＝180°， ∴∠A"FB＝∠A"GC， 又∵ ， ∴△A"FB∽△A"GC， ∴ ， ∴A′C＝2A′B．