聚热点 juredian

圆锥体积公式(圆锥体积公式中的1/3是如何来的?)

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,数学英才获授权转载,在此感谢!

Part1发现

中考结束的那年暑假,我写了一篇小论文,后来我才知道所谓的发现其实是帕普斯-古尔丁定理。

我最初的问题是圆锥体积为何是等底等高圆柱体积的三分之一,这促使我开始思考面积、体积的含义。

当时我的好朋友他说可以把圆锥横切成片,每一片近似于高为的圆柱,然后再累加起来。切分的越密,体积就越精确。如果用极限语言来表示:

其中是圆锥半截面夹角的正切值。带入上述关系后,最终问题归结于求极限:

当时我们上网还不方便,也没有足够多的课外数学书,我们还不了解这个求和公式:

代入这个公式,相信当时理解极限也并不困难

朋友说这个极限就是1/3,我说这个怎么算,他的回答语焉不详。显然我对这个结果不是很满意,我在想有没有比较几何一点的方式去理解呢?

没过多久,我们开始初三总复习,当时有一道关于三角形重心的几何题:过三角形重心做射线平行于任意一边,被一侧的边所截取的线段,其长度是其平行边的三分之一。

这个命题的证明很简单,其等价于三角形重心三等分中线。到了高中学习平面向量知识后,容易证明重心的坐标公式

当时看到这个习题后,我当时就觉得我可能找到了问题的答案。

我们可以用旋转的方式思考圆锥的形成过程:圆锥半截面绕着对称轴旋转,与此同时,圆锥的重心经过的轨迹是圆弧,如果我们把这个圆弧和半截面面积相乘——

刚好等于圆锥体积!

这是一个巧合吗?还是冥冥中确实有什么规律在支配?于是我开始怀揣着惊喜,开始验证我所知道的旋转体公式,我发现全部正确!就连圆、圆环的面积,也可以用这种方式理解:

圆面积

线段的重心在中点处,故中点经过的弧长为

平环积

于是我发现了如下定理——

(帕普斯-古尔丁)旋转几何体体积等于半截面重心旋转时经过的弧长乘以半截面面积

那么怎么理解这个公式呢?

Part2理解

这个定理体现了两种思想:平均和运动。不过想要完全说明白,得让我们先回到对长度、面积、体积的思考。

长度是如何定义的呢?我们事先规定单位1,然后其余的长度都是由单位1去度量。面积、体积其实也是如此,我们规定一个单位面积(体积),然后用它去衡量图形的大小。例如一个三行四列的矩形,我们知道它是由个单位正方形组成,于是它的面积就是12. 矩形面积等于长乘宽,就是这么来的。乘法本身就和运动相关,我们同样可以将这12个正方形理解为,一行4个正方形沿列的方向平移了3次。这显然是等效的。

即便是斜向运动,但依然是三层。这就是高的几何意义

最早我们理解点动成线、线动成面、面动成体,下意识都会将运动理解为平移。例如柱面,就是由底面沿某方向的平移形成。而沿曲线运动的问题一般不是中学生能解决的。

帕普斯-古尔丁定理是研究沿圆运动的定理。它突显出了重心的重要性,而这在平移运动时是隐藏起来的,因为平移运动时,所有的点的移动都是完全一样的。重心体现了平均的思想,我们不需要研究旋转体半截面上所有点的移动,只要考虑重心的移动就可以,因为它的移动距离是所有移动的平均值。这点在圆运动中最为明显,请读者自行思考。

再来考虑运动。例如柱面体积公式,即便是平行移动,实际上我们需要考虑位移沿着底面垂直方向的投影——高

当位移刚好和底面垂直时,此时

于是进一步,我们写出更为一般的体积公式,我们可以把运动分解为若干个阶段:

我们还可以继续推广。前面我们假设底面积不变,我们也可以假设底面也在每时每刻变化着

变力做功或者是各种通量的公式。

用积分的语言表示:

其实这正好是物理学中的变力做功或者是各种通量的公式。

可是在帕普斯-古尔丁定理中,为什么没有余弦函数的踪影呢?原来,这是因为半径旋转的刹那可以视为是垂直于半径的平移!用极限解释:

有了这个定理后,还可以已知旋转体体积公式,反向求各种半截面的重心。例如半椭圆的重心、直角梯形的重心等,就不赘述了。

Part3结尾

发现这个定理后,我感到非常兴奋。后来我也常常会将自己思考的结果记录下,可是我深知学海无涯。

中学时的笔记本

子曰:学而不思则罔,思而不学则殆。学习数学更是如此,有所发现固然值得自豪,但是坐井观天不去了解前人的研究,然后沾沾自喜止步不前,更有甚者认为自己是数学天才,视前人之研究如空气,随随便便就宣称推翻了某某理论,这种风气实在可怕。一来误人子弟,二来长期不被外界认可,可能会越加孤芳自赏。

我特别喜欢日剧《龙樱》里的一句话,它是全剧的点睛之笔:

没有遵守规则的精神,就不可能在学科上有所发现。世上大多数人都走进了一个误区,其实,只有遵守规则的人,才最具有创造力和个性。没错,在近代科学的领域,没有人是靠着异想天开获得重大发现的,大家都是深入理解基础研究,在遵守学科规则的基础上,对其进行研究。

与诸君共勉之。

数学英才

中学生英才计划

数学学科官方公众号

推送数学微慕课和学习资料

搜索建议:圆锥体积公式  圆锥体积公式词条  
热评

 2017年,刘林进城打工,妻子竟...

一自从出现了下岗这个词以后,许多企业改制了,也有许多企业倒闭了,连H市曾经的老字号企业S厂也未能跟上时代潮流的脚步。在这个时代,跟不上,就只有被抛下,所以曾经辉...(展开)

热评

 【歌词】方圆几里 吉他版 / 歌...

方圆几里(吉他版)- 薛之谦词:薛之谦 曲:薛之谦感觉很诚恳 是好事不需要发誓 那么幼稚本以为可以 就这样随你反正我也无处可去我怕太负责任的人因为他随时会牺牲爱...(展开)