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除法(数的运算之除法)

一.概念描述

现代数学:除法是数学中的基本运算之一,已知两个数a,b(b≠0),要求一个数q,使q与b的积等于a,这种运算称为除法,记为a÷b=q或a:b=q,读作a除以b等于q,a比6等于q。a称为被除数,b称为除数,q称为a与b的商,符号÷或:称为除号或比号。

除法可以定义为:已知两数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。因此,除法还是乘法的逆运算。除法还可以看作从被除数中连续减去除数,求减去除数的次数的算法。特别地,对于任意数a÷1 =a,a÷a=1, 0÷a=0。

小学数学:现行的小学数学教材一般是在二年级时开始学习除法,教材中没有给出除法的定义。不同版本的教材都是结合生活实例,让学生在分一分的活动中,感受到在生活中分东西时,可以按份数平均分,也可以按每份数平均分,在积累了大量等分经验基础上引出除法。

二.概念解读

自然数的除法,一般作为乘法的逆运算加以定义。但是,也可以直接定义,像将乘法定义为连加某个数一样,也可把除法定义为连减某个数,直到不能减为止。若剩余数为0,则称为除尽;否则,称为带余除法。

在除法中,零不能做除数。因为在a÷b=q中,当a≠0时,由于任何数乘0都不可以等于a,所以a÷b的商不存在;当a=0时,由于任何数乘0都等于0,所以a÷b的商不确定。

除法的本质是平均分,一般人认为,现代记号÷作为除法运算的符号,首创者是瑞士数学家雷恩。据说,雷恩先生在做数学运算时,遇到要把一个整体分成几份的问题,但没有符号可以表示这种分法。于是,他就用一条短横线把两个圆点分开,表示分解的意思。这种推测,道出了除法表示等分成几份之意。

除法算式一般有两种读法。如8÷2=4,可以读作8除以2等于 4,也可以读作2除8等于 4。这是因为在原先的汉语言表达中,除法是区分主动与被动状态的,除以就是用某数除的意思。像刚才说的8除以2,就是以2除8之意。因为除和除以这两个概念既有区别又有联系,所以常常引起学生的混淆。近些年来,随着乘和乘以两个概念统一为乘,除和除以这两个概念是否统一也成了老师们热议的话题。

在小学,除法概念的学习分为两个阶段。第一个阶段是在中低年级,数的范围局限在非负整数集。这时主要理解:除法表示平均分,以及除法是乘法的逆运算。第二个阶段是在高年级,数的范围在整数、小数、分数上,主要理解除法和分数、比的关系。可见,学生学习除法概念的过程是由浅人深、循序渐进的。

三.教学建议

除法是平均分的数学化表示。学生只有充分经历平均分的过程,明确平均分的含义,建立起平均分的清晰表象,才能为认识除法打好基础。侯丽丽老师充分重视平均分在除法学习中的重要作用,在教学中能够抓住概念本质,带领学生深入理解平均分。具体如下。

(1)重视操作,使学生充分经历平均分的活动

侯老师首先引导学生在动手操作的过程中,理解平均分的概念,使学生体会到日常分东西时有一种特殊情况,每份分得同样多,就是平均分。然后侯老师鼓励学生用不同的方法进行平均分。

①探索平均分的方法。

侯老师提出问题:把9个桃子,平均分给3 只小猴,每只小猴几个桃子?学生动手操作后,汇报交流。

方法一:

方法二: 方法三:

方法四: 方法五:

在交流中,学生发现前四种方法每次分给每只小猴的桃子的个数都同样多,所以最后每只小猴都得到了3个桃子。对于方法五,虽然每一次分给每只小猴的桃子的个数不一样,但经过调整后,每只小猴最后分得的结果同样多,也是平均分。学生在交流的过程中还发现,这种方法虽然从最后结果看是平均分,但是有些麻烦,在分的过程中还需要不断地调整,从而体会到为了确保结果是平均分,在分的过程中每一次最好分得同样多。

紧接着,侯老师再出示:猴王摘了8个桃子,每2个给1只小猴,猜猜可以分给几只小猴?学生动手进行验证。

这样,学生在充分经历了平均分物的过程后,不仅掌握了平均分的方法,也对平均分的含义有了进一步的认识。

②突出平均分的本质属性。

侯老师让学生思考:把9个桃子平均分给3只小猴,每只小猴分得3个桃子;又把8个桃子,按每2个桃子分给1只小猴,结果平均分给了4只小猴。想想刚才分的情况有什么相同的地方?

候老师通过这道题目使学生明确:不管是按份数平均分,还是按每份数平均分,结果每一份分得的都同样多,都是平均分。

(2)将平均分的过程与除法算式及含义建立充分的联系

由于除法概念比较抽象,因此除法的初步认识往往会从分物活动引入,使学生理解除的实质是平均分。在进行平均分的教学时,就要让学生对平均分的过程和方法非常清楚,要知道分的是什么,怎么分的,分的结果是什么。然后结合平均分的具体情境教学除法算式的写法和含义,使学生体会到被除数是要分的总数,除数是平均分的份数或每份的数,商是平均分的结果,体会到除法是解决平均分问题的一种运算方法。学生经过这样多次的体验、感悟,就能逐渐建构起除法这一概念的模型。

四.推荐阅渎

(1)《整体感悟基础上的分析---认识除法的教材分析及教学建议》(刘秘密,《教学月刊(小学版)》,2011年第3期)

该文以认识除法一课为例,分析了不同版本的教材编写及其教学过程中的问题,并对教材进行了重组,给出了一些具体的教学建议。

(2)《也谈除和除以》(王全夫,《中小学数学(小学版)》,2008年第6期)

该文阐述了除和除以这两个概念以及除和除以作为不同概念的利弊,并分析了这两个概念和谐统一的可能性。

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