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什么是倍数(倍数的定义有几种方法)

数学考试里有不少基础概念,似是而非,孩子们很容易因为混淆而没能答对题。今天小编搜集了小学数学最容易混淆的15条基础概念,家长让孩子看看都搞清楚了吗?

最小的一位数是0还是1?

这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页关于几位数的叙述:通常在自然数里,含有几个数位的数,叫做几位数。例如2是含有一个数位的数,叫做一位数;30是含有两个数位的数,叫做两位数;405是含有三个数位的数,叫做三位数……但是要注意:一般不说0是几位数。

再来听听专家的说明:在自然数的理论中,对几位数是这样定义的,只用一个有效数字表示的数,叫做一位数;只用两个数字(其中左边第一个数字为有效数字)表示的数,叫做两位数……所以,在一个数中,数字的个数是几(其中最左边第一个数字为有效数字),这个数就叫几位数。

于此,所谓最大的几位数,最小的几位数,通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个,即:1、2、3、4、5、6、7、8、9。

0不是最小的一位数。

为什么0也是自然数?

课标教材对0也是自然数的规定,颠覆了人们对自然数的传统认识。

于此,中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说:国际上对自然数的定义一直都有不同的说法,以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始,我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法,认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时,已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。

从教学实践层面来说,将0规定为自然数也有着积极的现实意义。

0作为自然数的好处

众所周知,数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合,像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合,如分数的集合。因为自然数具有基数的性质,因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

但在有限集合中,有一个最主要也是最基本的集合,叫空集{},元素个数为0。如果不把0作为自然数,那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把0作为一个自然数,那么自然数就可以完成刻画有限集合元素个数的任务了。于此,从自然数的基数性这个角度,我们看到了把0作为自然数的好处。

把0作为自然数,不会影响自然数的运算功能

0加入传统的自然数集合,所有的运算规则依旧保持,如新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算,而运算结果仍然是自然数。同时,加法、乘法运算的结合律和交换律,以及乘法的分配律也不会受到影响。

所以,0加盟到自然数集合实属理所当然,而不仅仅是人为的规定。它让我们更好地理解自然数和它的功能,同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的定义和规定,还应该思考规定背后的数学涵义。

什么是有效数字一无效数字?

有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时,保留的有效数字多,就比保留的有效数字少更精确。

一般说,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。这时,从左边第一个非零的数字起,到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。

如近似数0.00309有三个有效数字:3、0、9;0.520也有三个有效字:5、2、0。

而0.00309中左边的三个零,0.520中左边的一个零,都叫做无效数字。

加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算?

加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算这似乎成了许多老师的口头禅,这其实是一种误解。例如:

加法2+3=5,其逆算为5-2=3,5-3=2。

故此,加法的逆运算只有减法;

减法5-2=3,其逆算有5-3=2,2+3=5。

故此,减法的逆运算有减法和加法两种运算。

综上可知,只能说减法是加法的逆运算,而不能说加法与减法互为逆运算。

同理,也只能说除法是乘法的逆运算,而不能说乘法与除法互为逆运算。

为什么不写倍?

在学习求一个数是另一个数的几倍应用题时,很多小朋友会自然提出这样的疑问,如:饲养小组养了12只小鸡,3只小鸭,小鸡的只数是小鸭的几倍?为什么12÷3=4的后面不写倍呢?

我们首先应该肯定学生的质疑(学生有较强的解题规范意识)。但同时又该对学生说明:在解答应用题时,得数后面一般要写上的是数的单位名称

如:12只的只;8克的克。一个数只有带上单位名称,才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是,倍不是单位名称,它表示两个数量之间的一种关系。例如,上面的计算结果4,表示12里面有4个3,就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。

所以,在算式里不写倍,以免倍与单位名称发生混淆。

倍和倍数的区别

在第一学段我们学习了倍的初步认识,认识了概念倍,而在第二学段,我们又学习到倍数这个概念。那么,倍和倍数这两个词到底是不是一回事呢?这两个词之间有什么区别呢?

倍指的是数量关系,它建立在乘除法概念的基础上。例如:男生有10人,女生有30人,因为10×3=30或者30÷10=3,我们就说,女生人数(30)是男生人数(10)的3倍,也可以说,男生人数(10)的3倍等于女生人数(30)。勿宁说,倍其实表示的是两个数的商(这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式)。

倍数指的是数与数之间的联系,它建立在整除概念的基础上。例如,30能被6整除,30就是6的倍数。可见,倍数是不能独立存在的(具有特定的指向性),而且对数的形式有特别的要求(必须为整数)。

同时我们又看到,30也是6的5倍,因为6×5=30,6×5表示6的5倍。所以从这个角度来说,倍的涵义应宽泛于倍数,后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。

时和小时有什么不同?怎样使用时和小时?

首先应该明确的是,〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中,把秒作为时间的基本单位,把非国际单位制的时间单位天(日)、〔小〕时、分作为辅助单位。

(注:〔〕里的字,在不致混淆的情况下,可以省略)。

这样,在我国范围内使用的法定时间单位就有:天(日)、〔小〕时、分、秒。

由此,时既可以表示时间,又可以表示时刻。由于时间和时刻这两个不同的概念容易产生混淆,在实际应用时间单位时时,

现行教材作了如下处理:

当列式计算出时间的长短时,在得数的括号里写上时间的单位时。例如:超市营业时间:21-9=12(时)。(此处可省略小字)

在用语言表述时间的长短时,为避免时间和时刻这两个概念产生混淆,则在时的前面加上一个小字。例如:超市营业时间12小时。

在用语言表示时刻时,一律不得出现小时字样。例如:公园每天早上7时30分开园(而非7小时30分)。

改写和省略是一样的吗?

从形式上看,此例将改写与省略两种对数的变化置于了同一个要求之下(即改写成用亿作单位的数)。我们真希望编者不是有意而为之,因为改写与省略其本质是完全不同的。

表现在:

目的不同。

改写的目的是方便对大数的读写,而省略则是取数的近似值。

方法不同。

此处的改写是去掉亿位后面的0,再写上一个亿字,而省略除了要找准亿位,还要考虑被省略的尾数的最高位是几,然后用四舍五入法求出近似数。

符号不同。

改写只改变了数的表现形式,大小并未改变,所以用=号连接;而省略既改变了数的形式,又改变的数的大小,所以用≈连接。

路程就是距离吗?

这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的,其实不然。

路程是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度;而距离则指连接两个地点而成的直线段的长度。

路程所经过的路线可以是曲形线,也可以是直形线,还可能是折形线。

一般情况下,两个地点之间的路程要大于它们之间的距离,只有当两个地点之间的路线为直线时,路程和距离才相等。

虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开极限寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。

最大的分数单位是1/2还是1/1?

先看看分数单位的含义:把单位1平均分成若干份,表示这样一份的数。

显然,在分数意义中,关键是分,没有分,就没有份。

因为把单位1平均分成的最少份数是2份(如果是1份,也就无所谓分),由此得到的分数单位是1/2,所以1/2是最大的分数单位。

尽管就广义的分数来说,1/1也可视作分数,但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数(在平均分的基础上所产生),故此,最大的分数单位应以1/2为宜。

像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?

分数的定义明确告诉我们:把单位1平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数。其中,分成的份数叫做分数的分母,要表示的份数叫做分子。

由此可知,分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说,以上这几个数徒具分数的形式,而不具分数的实质,因此都不应该视为分数。

进而,在考查学生对分数涵义的理解时,应着眼于通常意义上的分数,将上述这些变异形式纳入思考的范围,其本身对训练学生的思维并无多大实际意义,而且会令诸如分数都大于0等命题的真与假陷入尴尬。

比6多1/2的数应该是61/2还是6×(11/2)

要弄清这个问题,先得弄清6的性质。显然,此处的6其实质是一个数,而非一个量,求比6多1/2的数应属于求比一个数多几的数的范畴,问题中的多几都是确定的具体数,这里的几既可以是整数,也可以是小数或分数。

所以,这里的1/2是指在6的基础上多1/2这个1/2数的本身,而非6的1/2。

所以,比6多1/2的数应该是61/2。

当然,如果题目确定为比6多它的1/2的数,那答案则属于后者。

计算出勤率可不可以不乘100%?

先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。

同一课程标准下,不同的教材给出了不同的理解,这给执教者带来了困惑:到底可不可以不乘100%呢?笔者以为,求××率其结果必定为百分率。以出勤率为例,就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。

如果公式只写成:出勤率=实际出勤人数/应出勤人数,我们说这只是分数形式(也即是求实际出勤人数占应出勤人数的几分之几),并不是百分数。

因此,在公式后面乘上100%,既可以使计算数值大小不变,又能保证结果形式满足百分数的要求。因此,计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中,都应乘100%。

同时建议各版本教材的编委统一思想,以免给一线教师造成认识上的混乱。

小于90度的角都是锐角吗?

根据课标教材定义:小于90度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的,但由此又产生一个新的问题:0度的角是什么角,也是锐角吗?

事实是,锐角定义有一个隐含的前提,就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上,我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角,射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角,当一条射线没有做任何旋转时,就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角,就应分为正角、负角、和零角。

由此,严格意义上的锐角定义应是:大于0度而小于90度的角叫做锐角。

足球比赛记分牌上的3︰2是数学中的比吗?

我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。

第一,球类比赛中的3︰2表示的是比赛双方的得分情况,是差比,即表示相差关系,一方得3分,另一方得2分,双方相差1分;数学中的3︰2表示的是3÷2,是倍比,商为1.5。有鉴于此,球类比赛中的比(其实是比分),其后数可以为0的,而数学中的比,其后数(相当于除数)是不可以为0的。

第二,数学中的比是可以化简的,如4︰2=2︰1;同样的4︰2放在球类比赛中,却不可以化简,如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。

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