初中数学往期模型
"半角"模型
模型1.已知如图：∠2=1/2∠AOB，OA=OB，连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E、FE，
结论：△OEF′≌△OEF。
证明：
∵△OBF ≌△OAF"
∴∠3=∠4, OF=OF"
∵∠2=1/2∠AOB,
∴∠1+∠3=∠2.
∴∠1+∠4=∠2.
又∵OE是公共边，
∴△OEF ≌△OEF"（SAS）
分析：
常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。一般是想要证明线段和差关系；
例子：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）作AH⊥EF于点H，求证：AH=AD。
证明：
将△ABE逆时针旋转90°到△ADE"位置。
∴BE=DE"，利用半角模型，可知
△EAF ≌ △E"AF。
∴EF=E"F=DF+DE"，
∴BE+DF=EF。
（2）
作AH⊥EF于点H，
∵△EAF ≌ △E"AF。
∴S△EAF ≌ S△E"AF。
AH是△EAF在EF上的高，
AD是△E"AF在E"F上的高，
又∵EF=E"F，
∴高AH=AD。
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。
思考：在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
(1)如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ?；
(2)如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想
并加以证明。
提示：利用半角模型非常容易
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。
1
思考：如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM。
提示：将△AMB绕点A旋转至△AB"D的位置，
容易证明△AMN ≌ △AB"N(SAS)。
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。
1
思考：已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系
提示：
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。
注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！