虚幻模式内部的规律

　　昨天在公众号原理中一文介绍了一种数学规律突然消失的情况，即数学中的虚幻模式。这种虚幻模式最初是由DavidBorwein、JonathanBorwein父子两人在2001年发现的这种不寻常的模式。
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　　JonathanBorwein
　　这其中涉及到一个在信号处理领域中常被使用的一个函数：sinc函数，它的公式如下：
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　　这个函数是正弦函数sin（t）除以t，是一个偶对称函数。如果函数自变量乘以一个常量因子，则会引起函数图形的尺度变化，即沿着自变量坐标轴的方向进行拉伸和压缩。下图显示了尺度动态变化的sinc函数。
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　　虽然sinc函数是由简单的基本函数经过初等运算组成，但是它的原函数，即积分函数却不是一个初等函数。下图就是使用数值计算绘制出sinc函数的积分函数图形。从图像中可以看出，随着t趋向于正无穷，积分的值趋向于一个常量，这说明sinc函数的面积等于。
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　　严格证明sinc函数的面积等于，需要使用到一些数学技巧，下面的连接给出了两种求取sinc函数面积的方法。
　　https：www。wikihow。comIntegratetheSincFunction
　　前面提到的数学虚幻模式就是研究sinc函数面积的问题。如果将sinc函数与它的拉伸三倍的函数相乘，仍然得到一个偶对称的函数，如下图所示：
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　　那么这个相乘后的函数的面积是多少呢？
　　sinc函数的面积等于，拉伸三倍的函数的面积应该等于3。如果求两个函数相加后的面积，结果则很简单，就是4。但这里求它们的乘积的面积，则有一定的困难了。
　　不过最终还是可以通过数学计算获得sinc（t）sinc（t3）的面积，结果居然还是。
　　如果将故事继续下去，将上述函数乘以sinc函数拉伸5倍后的sinc函数。即：
　　sinc（t）sinc（t3）sinc（t5）
　　这个偶对称函数它的面积是多少呢？如果这个乘积项继续增加，它们的面积又会是多少呢？这中间有什么规律吗？
　　下图绘制了上述函数乘积项数，从1到10的变化情况：
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　　可以看出，这个乘积函数始终是偶函数，并且随着乘积项的增多，整个函数逐步收敛于一个固定的函数。
　　这些函数的面积有下面公式给出，其中N定义了函数乘积项的个数。这个积分被称之为：Borwein积分。
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　　求解上述面积非常困难，数学家借助于数值计算逐步求解上面的积分，就会发现一个令人困惑的现象：当函数的乘积项N等于1至7的时候，积分的数值In始终都精确的等于。但是当N8的时候，虽然看起来整个函数图像与前面很相似，但结果却不在严格等于了，而是稍微变小了，大约小了0。0000000001（9个0，1个1）。
　　当数学家第一次在计算机上算的这个数值的时候吧，他们以为是计算软件出现了bug。但随后的解证实了这个数值的正确性，当N继续增加时，所得到的函数面积会变得越来越小。
　　这种数学模型突然变化，使得人们感到困惑。实际上还有其它的数学模式会持续更长的序列，然后突然消失。比如下面的这个积分值，当N小于56的时候，Jn都等于2。但当N大于57的时候，Jn就开始变小了，小了10的负110次方。
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　　对于数学中的虚幻模式，可以从数学上进行探讨，也可以从物理上进行解释。当然，如果大家学习了信号与系统，就可以从信号的频域看待这个虚幻模式了，会发现，它实际上并不虚幻。
　　为了叙述方便，假设大家都已熟悉了傅里叶变换（FT：FourierTransform）以及它的基本性质。
　　根据FT对偶性质，时域的sinc函数，在变换域频谱函数，即它的傅里叶变换则是一个非常简单的窗口函数，也称方波信号。
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　　信号的频谱F（）在原点的取值F（0）恰好等于信号的面积。
　　根据FT的尺度性质，sinc函数在时域的拉伸和压缩，也会引起频谱的压缩和拉伸。只是两者变化的方向是相反的。
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　　最后，还需要借助于FT的另外一个重要的性质：卷积定理。它有两种形式：时域卷积定义和频域卷积定理。
　　由于前面Borwein积分讨论的是函数相乘后的面积，所以这里需要应用到FT的频域卷积定理，有下面公式给出：
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　　由频域卷积定理可知，两个信号的乘积的频谱等于它们频谱的卷积。
　　卷积运算是信号与系统中重要的运算，它刻画了线性时不变系统的输入输出信号之间的关系。它的公式如下：
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　　上面公式说明，计算两个信号的卷积结果，需要经过以下四个步骤：将其中一个函数进行反褶、平移，然后在和另外一个函数相乘，积分。
　　这个过程可以通过下面的动图来反映：
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　　从上面动图显示的卷积效果来看，如果一个函数卷积一个方波信号，结果相当于该函数进行了平滑，结果的长度等于两个信号的长度之和。
　　有了以上的基本概念之后，下面就可以来分析造成Borwein积分中的虚幻模式的原因了。
　　根据FT的对偶特性，尺度特性，下图给出了sinc（t），sinc（t3）的频谱。
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　　然后根据FT的频域卷积定理以及卷积计算过程，可以绘制出
　　sinc（t）sinc（t3）
　　的频谱图像，如下图所示：
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　　可以看出，卷积后的频谱，原本是方波的边缘就变成了斜坡的过渡带，这是信号卷积一个窗口信号所带来的平滑的作用。过渡带的宽度等于窗口函数的长度。
　　如果卷积窗口函数的次数越多，这个平滑作用越大，过渡带的宽度就越长。如果过渡带的长度小于原来方波信号的宽度，此时方波在0点的取值F（0）就不会发生变化。请注意，这个F（0）是信号频谱在原点的取值，恰恰就是原来函数的面积。
　　根据卷积计算过程，可以知道这个平滑过渡带的宽度等于所有参与卷积窗口宽度之和。下图显示了随着乘积项的个数增加，在频域卷积后的变化情况。
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　　从上图中可以看到，当N小于7的时候，F（0）始终等于，当N等于等于8之后，F（0）的取值就开始减小了。
　　根据Borwein积分函数形式，可以知道过平滑后的频谱过渡带的宽度等于：
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　　可以看到，当N小于7的时候，上述的累加和始终小于1，过渡带没有影响到F（0）的取值。当N8的时候，Cn1。0218，大于1，此时过渡带影响到了F（0）的取值，并使其减小。
　　通过以上分析可以看出，原本比较虚幻的模式，如果换了一个观察和分析的角度，这个虚幻模式就变成了非常简单的现象了。
　　在近期发表在《物理评论快报》上，物理学家SatyaN。Jajumda则将上述的积分使用随机游走的概念来进行解释。使得原本简单的函数积分又重新有了新的含义。
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　　大学工科的同学们，或早或晚都会学习信号与系统这门课程。虽然它会涉及到很多抽象的数学运算，但本质上它利用数学的方法刻画现实生活中的信号、系统的行为。一些基本的概念和方法会提高我们对显示物理过程现象的认知能力。如果有意去运用这些基本原理，则可以创造出更加有趣的作品：
　　下面两个实验作品就是本春季学期信号与系统板上的同学们做的两个电子实验作品：
　　（1）音乐喷泉：利用MCU对于接收到的声音信号进行FFT，然后根据声音信号的频分别控制喷泉的不同喷射模式，形成与音乐的节奏和旋律相匹配的喷泉效果。
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　　（2）膜拜大熊猫：通过控制照明LED的闪烁频率，使其与底盘旋转速度形成周期关系，并略微有一定的周期差别，这就形成了对于图像离散采样的场景。原本高速旋转的图像，在周期频闪灯的采样下形成了大熊猫缓慢动态变化的效果。
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　　（1）原文链接：
　　https：phys。orgnews201907illusivepatternsmathideasphysics。html
　　（2）求解sinc函数面积的方法链接：
　　https：www。wikihow。comIntegratetheSincFunction