罗素悖论，它与理发师理论是等价的

　　罗素悖论主要是指假设性质P（x）表示x不属于，现假设它是由性质P确定了一个类A也就是说A｛xxA｝。那么这个问题就是A属于A是否能够成立？首先，若A属于A，则A就是A的元素，那么A就会具有性质P，由性质P知A根本就不属于A。其次，若A根本就不属于A，也就是说A同时会具有性质P，然而A则是由所有的具有性质P的类所组成的，所以A当然会属于A。罗素悖论当中还会有一些更为通俗的一种描述，如理发师悖论、书目悖论。
　　罗素悖论和理发师悖论主要是指在某个城市当中就会有一位理发师，他的广告词是这样写的。由于本人的理发技艺十分的高超，因此才会誉满全城。同时我将为本城所有的不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。因为我对各位表示热诚的欢迎！因此来找他刮脸的人经常是络绎不绝，因为自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，当这位理发师从镜子里看见自己的胡子也一天天的长长了，他只是本能地抓起了这把剃刀，那么你们想想看他到底能不能给他自己刮脸呢？如果他不需要给自己刮脸，那么他也就属于不给自己刮脸的那类人了，因此他就要学会给自己刮脸，然而如果他给自己刮了脸呢？那么他也就又属于给自己刮脸的那类人，因此他根本就不该给自己刮脸。
　　罗素悖论与理发师悖论是等价的。如果把每个人都看成是一个主要的集合，那么这个集合的一些主要元素就会被定义成这个人刮脸的对象。那么，这个理发师就会宣称，他的元素，主要都是那些城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都将会属于他。那么他是否会属于他自己？这样也就由理发师悖论从而得到了罗素悖论。反过来的变换也是相对成立的。
　　罗素悖论当中的折叠影响主要是在十九世纪的下半叶，由于德国的数学家康托尔创立了一本著名的集合论，因此在集合论刚产生时，就曾经遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性的主要成果就成为广大数学家们所接受的了，并且它从而获得了相当广泛而又高度的一个赞誉。因为数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可以同时建立起整个数学大厦。因而集合论也就成为现代数学的一个主要基石。一切数学的成果都极有可能会建立在集合论的基础之上。这一发现也会使一些数学家们为之陶醉的。
　　罗素悖论在1903年，由于一个震惊数学界的重大消息传出。集合论也是有漏洞的！这就是英国的数学家罗素所提出来的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论同时使集合论产生了一些重大的危机。因为它非常的浅显易懂，而且所涉及到的也只是一些集合论当中最基本的一些东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大的震动。为此德国的一些著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的一些基础理论完稿付印时，他同时也收到了一些罗素关于这一悖论的信。他就立刻发现，自己忙了很久而得出的这一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。因此他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的一件事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础完全要崩溃了。”
　　罗素悖论发表之后，紧接着又发现了一系列悖论后来就直接归入到所谓的语义悖论。罗素所构造的一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成的。然后罗素问S是否会属于S呢？因此根据一定的排中律，一个元素或者属于某个集合，或者根本就不属于某个集合。因此，对于一个所给的集合，如果去问是否会属于它自己则是有意义的。但是对这个看似十分合理的问题的主要回答却又会陷入一个两难的主要境地。如果S直接归属于S，因此根据S的定义，S就根本不属于S。反之，如果S根本就不属于S，那么同样可以根据定义，S就属于S。无论如何这些都将是十分矛盾的。
　　罗素悖论提出之后，一些数学家们也都纷纷的提出了自己的一些主要解决方案。当人们希望能够通过对康托尔的一个集合论进行改造，并通过对集合定义实施加以限制用来排除悖论，这就需要去从中建立一个新的原则。因为这些原则必须足够狭窄，从而还要用来保证能够排除一切矛盾。另一方面又必须充分的广阔，使康托尔集合论当中一切有价值的内容得以更好的保存下来。因此要想解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。