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点到直线的距离公式 点到平面的距离公式

学习Alevel高数的同学们一定有对vector感到头疼的经历,不仅公式繁多,而且有些公式还想不明白为什么是这样,虽然考试并不考公式证明,但不明白的东西就记不住或者用起来不踏实,学校和课本上又讲得不是很清楚,所以现在老师就把vector的一些公式证明一下。这些公式包括:

两个向量的向量积(俗称的叉乘)性质

两个向量夹角的sin

点到直线的距离

点到平面的距离

用向量表示的三角形面积

用向量表示的四面体体积

异面直线的最短距离

限于篇幅,这篇文章只证明1-4,剩余的5-7下次再写,请童鞋们关注正领睿学公众号以免错过哟

设两个向量是:

1.两个向量的向量积与这两个向量都垂直

要证明这个结论,只需要验证向量积与这两个向量点乘都等于0就行了。

2.两个向量夹角的sin是

要证明这个公式,只要验证它的平方和两个向量夹角的cos平方加起来等于1就行了。

这个计算量比较大,我们不需要把分子分母完全展开,只需要观察一下分母如果展开,其中的每一项分子上都有,并且分子上没有更多的项,这样分子和分母就相等了,所以整个分式等于1

3.点到直线的距离

如图,设点A的position vector是OA,直线方程是r=p+td,这里的p和d分别表示直线的position vector OP和direction vector,我们就用单个字母表示vector,不需要写出里面的每个数字。从A向直线作垂线,垂足是F,并连接A和P。

在直角三角形APF中,斜边是|OA-p|,我们要求直角边|AF|,只需要再有sinAPF就行了。而角APF可以看成向量OA-p和d的夹角,所以

4.点到平面的距离

如图,设点A的position vector是OA,平面方程是r·n=d,这里的n和d分别表示平面的normal vector和一个常数。从A向平面作垂线,垂足是F,并连接A和平面上任意一个点P

在直角三角形APF中,斜边是|OA-OP|,我们要求直角边|AF|,只需要再有cosPAF就行了。而角PAF可以看成向量OP-OA和n的夹角,所以

其中OP·n=d是因为P是平面上的点,所以OP可以代入平面方程里的r

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