下学期4。4同角三角函数的基本关系式

　　同角三角函数的基本关系式
　　教学目标：
　　1掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系
　　2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式
　　教学重点：
　　理解并掌握同角三角函数关系式
　　教学难点：
　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
　　教学用具：
　　直尺、投影仪
　　教学步骤：
　　1设置情境
　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化
　　2探索研究
　　（1）复习任意角三角函数定义
　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角的六个三角函数是如何定义的呢？
　　在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的六个三角函数的值是：
　　；；
　　；；
　　（2）推导同角三角函数关系式
　　观察及，当时，有何关系？
　　当且时、及有没有商数关系？
　　通过计算发现与互为倒数：
　　由于，
　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算的值
　　由三角函数定义我们可以看到：
　　，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：
　　平方关系：
　　商数关系：
　　倒数关系：
　　即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中，在第三个式中，的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提同角的条件
　　（3）同角三角函数关系式的应用
　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值
　　【例1】已知，且是第二象限角，求，，的值
　　解：，且，是第二或第三象限角
　　如果是第二象限角，那么
　　如果是第三象限角，那么，
　　说明：本题没有具体指出是第几象限的角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论
　　【例2】已知，求的值
　　解：，且，是第二或第三象限角
　　如果是第二象限角，那么
　　如果是第三象限角，那么
　　说明：本题没有具体指出是第几象限角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论
　　【例3】已知为非零实数，用表示，
　　解：因为，所以
　　又因为，所以
　　于是
　　由为非零实数，可知角的终边不在坐标轴上，考虑的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：
　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明
　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4
　　【例4】化简下列各式：
　　（1）；（2）
　　解：（1）（2）
　　3演练反馈（投影）
　　（1）已知：，求的其他各三角函数值
　　（2）已知，求，
　　（3）化简：
　　解答：（1）解：，所以是第二、第三象限的角
　　如果是第二象限的角，则：
　　又
　　如果是第三象限的角，那么
　　（2）解：是第二或第四象限的角
　　由【例3】的求法可知当是第二象限时
　　当是第四象限时
　　（3）解：原式
　　4本课小结
　　（1）同角三角函数的三组关系式的前提是同角，因此，
　　（2）诸如，，它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义
　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论
　　课时作业：
　　1已知，，则等于（）
　　ABCD
　　2若，则的值是（）
　　A2B2C2D
　　3化简
　　4化简，其中为第二象限角
　　5已知，求的值
　　6已知是三角形的内角，，求值
　　参考答案：1D；2B；31；4；53；6
　　注：4略解：原式
　　在第二象限
　　6略解：
　　由，平方得，，
　　是三角形内角
　　只有
　　，
　　由
　　及，联立，得：，，