学物理也要用到基础数学，张朝阳的物理课推导球坐标系体积元

　　2月20日12时，《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律，补充了速度分布化为速率分布的细节，引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论，并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例，结合巧妙的积分参数变换，得到具体公式，最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上，即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。
　　今天是复习和反刍的一天。张朝阳说，上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布，今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明，但比它更重要的，是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学，补充点基础知识。区别与联系：麦克斯韦速度分布与速率分布
　　张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。它重点强调理想气体的各向同性，表明速度分布只与速率有关。他解释说，依据三个垂直方向上速度分布的独立性，可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积；之后取对数，将乘积化为求和的形式，再对某一速度分量求偏导；结合一些简单的变换，就可以用分离变量法，解出各方向上的速度分布，进而回过头来，得到完整的三维速度分布。
　　利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系，可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出，速率分布显示，粒子速率趋于0时，概率密度趋于0。然而，速度分布却显示，粒子在某方向上的速度为0时，概率密度取到最大值。
　　怎么理解这个看似矛盾的结果呢？张朝阳解释说，速度分布描述的是，速度处在速度区间VxVxdVx、VyVydVy、VzVzdVz的粒子数，它对x、y、z三个分量都有要求，只要其中一个速度分量超出此区间，就不计算在分布里面。但是，速率分布描述的是速率处在速率区间VVdV的粒子数。由速率与速度的定义，可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间A的粒子，对相应的速率区间dV有贡献；但速率区间dV，包含的不只有速度区间A的粒子，还包含了其它速度区间B、C、D等的粒子。由速率与速度之间的关系，可以看出，当速率越小，其在球坐标系对应的球面越小，直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以，即使速度分布在各自速度分量趋于0时能取到最大值，对速率分布，当速率趋于0时，对应的状态数急剧下降，概率密度趋于0。
　　如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢？张朝阳告诉网友，这就涉及到球坐标系体积微元的推导。几何与变换：球坐标系的体积微元
　　张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说，在球坐标（r，，）所示的某点上，给做一个微小的变化d，同时也给做一个微小的变化d，就会在半径为r的球面上，划出一个边长分别为rd与rsind的小面积元，其面积大小为r2sindd，若对r再做个微小的变化dr，则会形成一个以前述面积元为底、高度为dr的体积微元，其体积大小是r2sindddr，这就是球坐标区间d、d、rrdr所对应的体积。
　　（推导球坐标系的体积元）
　　在笛卡尔坐标系里，体积微元是将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后，就可以将直角坐标的体积微元换成r2sindddr再继续积分。当然，类似地，反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。
　　同理，将x，y，z换成速度Vx，Vy，Vz，速度区间所示的体积微元dVxdVydVz对应到球坐标系里的体积微元就是V2sindddV，其中V是速率。所以当速率趋于零时，体积元以V2方式减小到零，这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。分割、换元、组合、等效：计算均匀球体的引力
　　作为球坐标系的一个典型应用，现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力，质点与球心的距离为R，具体参数如下图所示：
　　（张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力）
　　张朝阳继续说明，设球壳密度为，半径为r的球壳上的小体积元质量为r2sindddr，其与质点的距离设为l，则球壳与质点m之间的引力为：
　　如果将x与l表示为cos的函数，积分会变得比较难，故尝试选取其它参量作为积分变量。注意到cos可由其所在的直角三角形的边长表示为：
　　那么质点m与球壳之间的引力为：
　　现在只剩下x与l两个参量，只要将其中一个表示成另一个，就可以做积分。张朝阳选择将x用l表示出来，最终全部化成对l的积分。为了完成此目的，注意到包含所在的直角三角形有勾股定理：
　　利用此公式可以将x表示为：
　　最后代入积分公式里并完成对l的积分后：
　　注意到球壳的质量为4r2dr，R是质点到球壳的距离，从上述引力的公式可以发现，质点m与球壳的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。那么将球壳按照r积分起来，就得到质点m与球体之间的引力：
　　他指出，可以发现，质点与球体的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心，并且即使球体密度与径向距离有关，也不影响此结论。
　　球体在宇宙学里是普遍存在的形状，可以利用这个结论方便简易地得到其万有引力，所以这个结论具有非常重要的意义。直播结尾，张朝阳告诉网友。