2022阿里巴巴全球数学竞赛预赛第二三题详解

　　引言
　　2022年阿里巴巴全球数学竞赛预赛刚刚落下帷幕，本文对预赛中的第二、三题作详细解答，适合高中学历以上的读者阅读。
　　第二题
　　（第二题和第三题同为一组）
　　某日，某地的一片巨大空场地上有一场街头艺术表演，引起部分群众围观。我们将此地看作一个欧氏平面，表演的区域中心记作点
　　设群众为，他们按照从开始的顺序依次选定一个围观的位置
　　但需同时满足以下三个条件。
　　条件1：围观的位置与的距离不小于10米，即对任意，米。
　　条件2：围观的位置与前面每个人位置的距离都需要不小于1米，即对任意和任意，米。
　　条件3：在满足条件1和条件2的前提下，选择与尽量接近的点进行围观，即他希望取到最小可能的值。如果同时满足条件1和条件2，且使得取到最小可能的值的不止一个，那么可以选择其中的任意一个点。
　　例如，对于，他选择位置时没有条件2，故他会选择以为圆心，10米为半径的圆周上的任意一点（与的距离恰为10米）；对于，他也希望与的距离恰为10米，即也在上。由于上有许多点与的距离不小于1米，他可以选择其中任意一点。
　　请问，以下说法哪个正确？
　　存在正实数，使得对于任意正整数，无论怎么选择位置，均有（单位：米）；
　　存在正实数，使得对于任意正整数，无论怎么选择位置，均有（单位：米）；
　　存在正实数，使得对于任意正整数，无论怎么选择位置，均有（单位：米）；
　　存在正实数，使得对于任意正整数，无论怎么选择位置，均有（单位：米）。
　　第三题
　　（本题接第二题）
　　由于人是有一定体积的，所以如果某人站在另一人围观的实现路径附近时，第二人就会被第一人挡住视线。我们认为，对不同的，如果以为圆心，米为半径的圆周与线段相交，那么就会被挡住视线而看不到表演的全貌。
　　请问，以下说法哪个正确？
　　当有60名群众围观时，一定有人看不到表演的全貌；
　　当有60名群众围观时，存在所有人都看到表演全貌的可能性，但当有800名群众围观时，一定有人看不到表演的全貌；
　　当有800名群众围观时，存在所有人都看到表演全貌的可能性，但当有10000名群众围观时，一定有人看不到表演的全貌；
　　当有10000名群众围观时，存在所有人都看到表演全貌的可能性。
　　分析
　　2022阿里巴巴竞赛预赛第二、三题，不禁让人联想到去年（2021年）阿里巴巴竞赛预赛第一题，同样是考虑平面上人与人距离以及人数之间的关系的问题，有兴趣的读者可以参考文章
　　2021年阿里巴巴全球数学竞赛预赛第一题详解
　　第二题比较容易，属于高中数学联赛简单题级别，用高中数学竞赛常用的覆盖法很容易得到与之间的关系式。而由第二题得到的与之间关系式，我们用不等式，也不难用放缩等技巧，得到第三题的结论。整体而言，这两道题比去年预赛第一题容易一些。
　　第二题的解答
　　我们使用覆盖法。
　　为得到的下界，我们需要群众尽可能密集，我们将站在的人等效成一个圆心为半径为0。5米的圆盘。不难看出，此时条件2等价于：圆盘与圆盘之间没有重叠部分。因为若不然，那么圆心与圆心的距离会小于半径的2倍，也就是1米，这与条件2相违背。而这些圆盘圆心到的距离在10米与米之间，从而我们可以用一个圆心为，内半径为，外半径为的圆环将所有圆盘覆盖。
　　由于圆盘与圆盘之间没有重叠部分，所有圆盘的面积总和必然小于圆环的面积，从而我们有了第一个不等式：
　　即
　　为得到的上界，我们需要所有人尽可能稀疏，类似于上述操作，这次我们将每个圆盘的半径扩大为1米，圆心位置不变。此时，我们考虑圆心为，内半径为，外半径为的圆环。
　　我们声明：圆环可以被所有的圆盘（不留缝隙地）覆盖。若不然，则我们假设圆环内部存在一块区域未被任何圆盘覆盖，那么这块区域（不含边界）中的一点，不在任何圆盘内或圆盘边界上，故到任意圆心的距离大于1米，从而点上是完全可以站人的；其次我们注意到在圆环内，从而，这说明点是一个比离更近的围观地点，这显然违背了条件3的就近围观规则。
　　由于所有圆盘可以覆盖圆环，从而所有圆盘的面积之和应该大于圆环面积，从而我们有了第二个不等式：
　　即
　　请注意，上式将会在第三题中用到！！
　　由第一个不等式，我们进而推出：
　　即
　　由第二个不等式，我们进而推出：
　　即
　　从而我们令，可得
　　选项正确。
　　第三题的解答
　　根据题意，将人看成一个以为圆心，米为半径的圆。过可以作两条切线，而在人的一侧，两条切线之间的区域是一个不友好区域，而的角，也即两条切线之间的角称为盲角。
　　假定有个群众采取了一种满足题目条件的围观方式，使得任何人都能看到表演全貌，我们断言：平面上任何一个点至多被两个不友好区域覆盖。
　　我们考虑能看到表演全貌的两个人，且他们的不友好区域有交集，它们所对应的圆心为，它们的盲角为。首先必然有，否则若，有交集说明两个圆必然相交，从而，这违背了条件2。我们令，并记的盲角为。
　　如上图，注意到在之外，而的一条切线却在之内，这说明这条切线和把的一条切线夹在中间，这说明同理有
　　这时，如果存在第三个人也能看到表演全貌，且他的不友好区域和有交集，也就是三个不友好区域有交集。由于能看到表演全貌，故不与或相交，从而在之外。不妨设在的一侧。令的盲角为，令，并记的盲角为。
　　如上图，类似之前分析，我们有，从而
　　但另一方面，由于与有交集，说明可以覆盖，进而
　　这是矛盾的。从而平面上任何一个点至多被两个不友好区域覆盖。
　　现在个群众都能看到表演全貌，说明至多覆盖平面（上任意一点）两次，这也就是说所有盲角之和不超过，即
　　如上图所示，我们通过三角关系可以得到
　　从而
　　而由第二题的结论，我们有
　　从而
　　针对选项，我们令，得
　　根据之前分析，这说明这800人中必然有人不能看到表演全貌。
　　另一方面，60名群众是可以做到每人都能看到表演全貌的。考虑以为圆心，10米为半径的圆周上的60个等分点，其中任意两个相邻两个点之间的距离为
　　满足条件2，且每个人与的距离都为10，满足条件1，每个人都在最接近的位置上，满足条件3。考虑视线遮挡，由于以为圆心，为半径的圆两两不交，从而60个人都能看到表演全貌。
　　综上所述，选项正确。
　　点评
　　2022阿里巴巴竞赛预赛第二、三题是本次竞赛最简单的两题，适合大部分高中学历的人做。第二题使用高中数学竞赛中的覆盖法可以轻松解决，属于陈题。第三题关键在于意识到平面上的任意点至多被两个不友好区域覆盖，再利用第二题中的结论，也可以轻松解决。
　　要说明的是，第三题对于大多数人来说，有一个致命误区，那就是忽视了条件3的存在。不少人尝试对800人以上的情况进行构造，认为只需要满足人与人之间间隔1米以上就可以任意插空隙摆放群众，这种构造是有漏洞的。
　　仔细思索一下条件3的含义，群众优先选择的是最靠近的位置，而非最不遮挡视线的位置，而多数人的构造是以不遮挡视线为优先选择，从而不顾最靠近的位置这一优先选项。事实上，也就只有半径为10的群众的选择比较自由，而之后任何一个人要站的位置已经被条件3给限制死了，也就一个或者有限的几个位置可以选，没有任何自由度可言。正因如此，很容易发生的情况是，明明前方就有一个人遮挡着视线，但是这个位置却是满足条件的最靠近的位置，所以硬着头皮也要站在这个位置。这是构造法无法控制的因素之一。