哥德尔一个自由而无用的灵魂书评

　　9。11
　　知识分子
　　TheIntellectual
　　库尔特哥德尔（19061978）的理论为计算机科学和人工智能的发展奠定了基础。图为哥德尔在普林斯顿高能研究院的数学自然科学图书馆图源：ias。edu
　　导读
　　哥德尔被爱因斯坦称为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。他提出的哥德尔不完备性定理，堪称数学逻辑理论中最伟大的发现，撼动了当时被大数学家希尔伯特认为完美的数学王国。
　　哥德尔1906年4月28日出生于当时隶属于奥匈帝国的布尔诺，1923年进入维也纳大学，原本要学习物理，在参加过几次数论的讲座后转向数学，并参加了以哲学家为主、专注于讨论语言和意义及逻辑关系的维也纳小组。1930年，24岁的哥德尔获博士学位，后在维也纳大学工作。
　　因欧洲战乱，身为犹太人的哥德尔的国籍几经变换，先是奥匈帝国，后是捷克斯洛伐克，然后为奥地利，当奥地利被纳粹德国吞并后，他成为了德国人。二战前，因担心被德国军队征兵，他逃离了欧洲，1940年辗转来到美国，并在普林斯顿的高等研究院工作。1946年，哥德尔获得高等研究院终身教职。晚年时，哥德尔罹患迫害妄想症，拒绝进食，1978年因营养不良和身体机能衰竭离世。
　　作为计算机学家，张峥欣赏哥德尔在数学和逻辑学上的成就和独特趣味，也在思考人才为何聚集到美国。如何让学者同时安放自己的心灵和书桌，这是一个值得探究的问题。
　　撰文张峥
　　责编陈晓雪
　　纸牌反面那句话是对的和纸牌反面那句话是错的这两句话单独拎出来看，互相矛盾，显然不可能同时为真，只有一句话是对的。如果把它们写到纸牌的两面，会发现无论假设哪句正确都不行，都会陷入自我矛盾的拧巴中去。这个死循环，就是大家都熟悉的纸牌悖论。这个小游戏，可以在喝酒聊天的时候拿来欺负你的小伙伴。
　　在精致的数学系统中，这样的悖论被认为没有容身之地。20世纪初，大数学家希尔伯特指出，数学象牙塔是完备而且自洽的。也就是说数学系统中的所有结果，都是可以从一堆不会互相矛盾的公理中严格推导出来的；数学是个纯粹而干净的平行宇宙，可以无限生长，一砖一瓦地堆砌，而且所有的部件都是稳定、坚固、环环相套，没有漏洞。
　　希尔伯特的这个猜想如果正确，那数学家要做的就是补足公理，其他的都是机械操作，数学王国必将独立而完整。
　　纵观数学界积累下来的巨大成绩，希尔伯特乐观地认为这个猜想不会有错，也号召数学家们行动起来，向这个方向努力。当时的希尔伯特如日中天，影响力巨大，整个数学界沉浸在乐观的情绪中，朝他指明的方向前进。
　　1929年年底，23岁的哥德尔（KurtFriedrichGdel，19061978）完成了一阶逻辑上的证明，向目标推进了一步，他的贡献超过了其他同行的总和。凭着区区两页纸的证明，哥德尔于第二年初取得了维也纳大学的博士学位。
　　图1在维也纳大学的哥德尔图源：KurtGdelPapers，theShelbyWhiteandLeonLevyAchivesCenter，普林斯顿高等研究院
　　哥德尔在证明更复杂的二阶逻辑时向朋友们承认他碰到了麻烦。没有谁会想到，解决这个麻烦的后果是造成了更大的麻烦：半年后，他证明了希尔伯特猜想不成立无法同时保证数学系统的自洽性和完备性。
　　这个结果动摇了数学王国的根基。这个被称为不完备性定理的证明大致分成两大步骤，用了几乎是魔术师般神奇的手段。
　　首先，哥德尔做了个磁纸牌，可以把任何数学公式，包括数学定理的证明，通过一串基于素数的操作变成一个独一无二的哥德尔数，吸到纸牌上。这个哥德尔数也可以拿下来，完美无损地恢复原来的公式。接着，他构造了一个自我矛盾的数学定理（哥德尔数为g的表达式是不可证明的），粘到了纸牌上，而这就像我们无法判断这句话是假的的真伪一样。
　　这个大麻烦在于，宣告了在数学系统中永远存在可能为真的命题，却无法用数学自己来证明（更严格地说，是在整数系统中用有限步证明）。
　　数学是一种形式化的语言，人的思考依赖非形式化的语言，那语言本身又如何自证清白呢？开口就是错并不耸人听闻。从这点上来看，哥德尔和同时代的哲学巨人维特根斯坦的理论也互相印证。也许我们会想象两个天才惺惺相惜、互相唱和，可惜不是，但原因却又颇复杂，耐人琢磨，并不因为是既生瑜何生亮，个中原因，就留着读者自己去发现吧。
　　哥德尔不完备性定理的影响，远远超出了数学本身。在计算机领域，有一个对应的经典问题叫作停机问题：在有限的时间内能否判断一个任意的程序结束运行或者死循环。证明这个定理的是另一个巨人，他的名字叫图灵，使用的证明框架类似，也是自我指涉带来的悖论。而大家熟知的卡尔波普关于划分科学与非科学理论的可证伪性原则，也有不完备性定理的影子。
　　提到停机问题，我想象有的读者会下意识地去摸下电脑，看是不是有些滚烫。事实上，目前程序死循环的原因，全是因为码农的不仔细，因为有足够的保守编程手段来做保证。哥德尔不完备性定理，还没有影响到诸多为真且可证的数学定理在实操中的运用。
　　事实上，在实操中无所作为的不完备性定理，同海森堡的不确定性原理和爱因斯坦的广义相对论一起，被人戏称为知识滥用的源泉，催生了无数并不靠谱的想象力。
　　那么，为什么我们要去了解哥德尔？
　　作为第二代复旦人，我一直以为自由而无用的灵魂这句话说得口齿不清。知道了不知道，才能划清学问的边界，而只有知道了边界，才能继续推远边界，而这正是哥德尔身后一直在发生的事。因此，这种无用是非常深刻的有用。
　　哥德尔清楚地知道，他被世人所知的都是一些否定的结论哥德尔的其他重大贡献在他去世之后才被陆续重新发现。而且，可能为真却无法证明的数学定理的存在，也意味着我们也许永远无法窥视到启动这个世界的神秘之手。世俗的我们不会为这个费神，但哥德尔会。这种阴影一直伴随着哥德尔，也可以理解成他后来罹患精神疾病的部分原因。我个人认为，即便证书系统和其中的定理早就摆在那，去发现它们的工程中发明的新手段，比如哥德尔在证明中使用的哥德尔数，却是实实在在的新知识，也是人类文明活动璀璨的新结果。
　　当年的维也纳学术圈，对爱思考的人来说，真是个令人神往的天堂，影响二十世纪的很多思潮和流派都发端于这些小圈子中。天才如哥德尔，也需要其他天才的伴随。哥德尔和他的朋友们，经常浸泡在备好了黑板的咖啡馆中讨论问题。我不知道咖啡馆如此之多的上海有哪一家准备了黑板。
　　但在当时，奥匈帝国正在迅速滑向地狱，学术讨论的天堂顷刻悬浮在地狱之门的边缘。被强烈的民族主义裹挟的亲德青年，反犹活动愈演愈烈，并最终把火烧向象牙塔尖。为希特勒背书的不乏诺奖获得者，学者之间也借机公报私仇、互相讨伐。这一幕，熟悉中国现代史的读者自然不会陌生。
　　这就抛出了一个尖锐的问题：在公共危机中，如果知识分子不能安放自己的心灵，又如何安放自己的书桌？
　　我认为没有理由对知识分子持有更高的道德期待。也许事实正相反，聪明人更有能力说服自己投靠黑暗。把武艺和武德混为一谈，认为流氓不会武功，英雄德艺双全，是世人美好的幻想。压力之下，嘴脸才显。
　　随着战争的脚步逼近维也纳，一个相当广阔的光谱呈现在眼前。这也是这本传记花重墨之处：你是谁，等同于你在广谱的哪一边。
　　哥德尔的密友和恩师中，不乏左派反战人士，不少还因此锒铛入狱。哥德尔自己相对出世，有些若即若离，但本质上也是个坚定的和平主义者。即便如此，他也曾被更坚定的好友抛弃过，令他痛苦不堪。我认为，面对极权的暴力和身边的不公正，不参与作恶是外在的作为，并不是衡量良心的唯一的标准。更重要的是，当你独面自己的软弱与怯懦，你看见了什么你会心生惭愧，还是心安理得？
　　离开故土，是因为安不下心灵，也可能是因为安不下书桌，也可能两者兼有。无论是谁，对故乡的眷恋无可替代，哥德尔和他的朋友们也是这样。本书另一个重要的看点，人才是如何成功地聚合到美国的，这是对当今中国至关重要的一个话题。哥德尔投奔普林斯顿研究院的前前后后，为这一问题提供了一个绝好案例。为什么这么说？留待读者自己去发现了。我只能说，经常看到的东方的麻省理工学院斯坦福加州理工等宏伟愿景，如果只是简单的拷贝，而不去了解当时的历史肌肤，那注定是太天真。我们除了准备好的书桌，还必须准备心灵的安放之处。
　　关于科学家的传记是我阅读的最爱之一，一本好的传记可以读出厚重的时代感，重现这个群体的血肉。刚刚去世的戴维麦卡洛（DavidMcCullough）撰写的《莱特兄弟》，埃里克拉森（ErikLarson）关于无线电发明人马可尼的传记，还有沃尔特艾萨克森（WalterIsaacson）的《富兰克林传》，都让我受益匪浅。能读到这本哥德尔传，是我的好运气。满分推荐。
　　2022年8月14日，于上海。
　　作者简介
　　张峥，原上海纽约大学计算机教授，亚马逊云计算上海AI研究院院长。
　　制版编辑姜丝鸭