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长方形(认识长方形)

一.概念描述

现代数学:长方形也称矩形,是特殊的平行四边形之一。即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。

小学数学:小学数学教材没有明确的定义,一般是通过两个阶段来认识长方形:如2003年人教版教材第一阶段是在一年级上册第34页,在认识长方体的基础上,感悟面在体上,把其中的某个面画在纸上,就形成了长方形,让学生能直观认识,学会辨认。第二阶段是在三年级上册第34页,通过量一量、折一折、比一比来发现长方形的边和角的特点:对边相等,四个角都是直角,让学生能依据特征,判断图形是不是长方形。

二.概念解读

长方形从哪儿起源呢?中国古算书中,将矩形田称为直田,也称矩形图形为直田。

长方形有哪些性质?

如下图:

在平行四边形ABCD中,若∠A=R∠,则平行四边形ABCD为长方形,记作▭ABCD,读作长方形ABCD。长方形的两条邻边重,长边通常被称为长方形的长,短边通常被称为长方形的宽。

长方形是一种特殊的平行四边形,因此,它除具有平行四边形的性质外,还具有下列性质。

①四个角相等,且都是直角。

②两条对角线相等,即AC= BD。

③每条对角线分长方形为两个全等的直角三角形。

④它是轴对称图形,有两条对称轴,这两条对称轴是过长方形的对称中心,而且与该长方形相邻两边分别平行的两条直线。

⑤有一个外接圆,长方形的两条对角线都是外接圆的直径。

长方形怎样来判断呢?判定长方形有几个充分条件,满足下列条件之一的四边形就是长方形。

①有一个角是直角的平行四边形。

②两条对角线相等的平行四边形。

③邻角相等的平行四边形。

④有三个角是直角的四边形。

⑤对角线互相平分且相等的四边形。

⑥四个角相等的四边形。

⑦关于过对角线交点,且分别与两邻边平行的两条直线成轴对称的四边形。

长方形是认识平面图形的开始,数学中平面图形是怎么来的呢?图形,是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的,抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如,点是位置的抽象,在几何中用点来标记一个物体的位置(如地图上的城市就为点);线是路径的抽象,我们把从一个地方走到另一个地方抽象为线段,或直线段、曲线段。

又如,观察一张书桌,它占据一定的空间,有长短、宽窄和高矮,这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念,就被抽象成几何图形。我们继续观察,发现桌面上有四个相等的角,两两相等的对边,长和宽不相等。黑板、书本、门窗等,都具有这些相同的特征,于是就形成了长方形的概念。这样,长方形不再是某个具体的物体,而是抽象了的图形。

三.教学建议

小学阶段认识平面图形一般来说是这样一个流程:长方形、正方形---平行四边形---三角形---梯形---圆。认识长方形是人们认识其他平面图形的基础。认识长方形不仅要发现它的特征,还要学会研究平面图形的方法,更重要的是还要发展空间观念,逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界,体会图形在现实生活中的广泛应用。如何实现这个目标呢?

(1)动手操作,探究发现

找一找:人们观察生活,大多情况下看到的是立体的实物。我们可以让学生找一找哪些物体上的面是长方形的,把它画在纸上,就形成了平面图形。

数一数:大大小小的长方形,我们可以让学生数一数,每个长方形都有几条边,有几个角。

猜一猜:长方形的四条边有什么特点?四个角呢,可能有的学生会猜测:上下两条边相等,左右两条边相等;四个角都是直角。

量一量或折一折:如何证明我们的猜测呢?学生可以动手量一量,上下两边的长度是否相等,左右两边的长度是否相等;也可以动手折一折,上下两边对折,左右两边对折,看是否能完全重合。如果长度相等、完全重合,就能说明这个长方形是上下两边相等、左右两边相等。是不是所有的长方形都是这样呢?学生可通过大大小小、不同方位的长方形加以验证。

比一比:如何证明长方形的四个角是直角呢?由于学生还没有学习角的度量,但学生认识三角板中的直角,可让学生用三角板中的直角与长方形的四个角比一比。如果完全重合,就说明这四个角是直角。

通过找、数、猜、量、折、比的体验活动,让学生经历的是发现平面图形特征的过程,印证的是长方形边和角的特征,为今后判断长方形提供了依据,也为今后研究其他平面图形奠定了基础。

(2)认识长方形、发现其特征是学习长方形的开始

在今后的学习中,长方形的周长、长方形的面积、长方体的表面积、长方体的体积,会让学生更深入地理解长方形。

四.推荐阅读

(1)《数学辞海》(裘光明,山西教育出版社,2002)

该书第135页论述了长方形的意义和性质、判定。

(2)《<义务教育数学课程标准(2011年版)>解读》(史宁中,北京师范大学出版社,2012)

该书第九章图形与几何部分的第1 80-181页论述了从实物到几何图形的抽象过程,提出了图形认识的基本途径。

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