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奥数国家级教练与四名特级
教师联手执教。
一、学习目标 1、熟练应用最短路径的基本模型； 2、掌握计算最短路径的长度的一般思想和方法； 3、理解最短路径问题的数学本质：转化思想、数形结合思想和函数思想。 二、知识重点 1、最短路径问题 是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （1）确定起点的最短路径问题——即已知起始结点，求最短路径的问题； （2）确定终点的最短路径问题——与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题； （3）确定起点终点的最短路径问题——即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径； （4）全局最短路径问题——求图中所有的最短路径。 2、基本依据 两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、平移的性质等。 3、常见的类型 两点一线，两线一点，两点两线等。 三、12个基本问题 1、问题原型：将军饮马、造桥选址、费马点 2、涉及知识：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、轴对称、平移 3、出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 4、解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 5、12个基本问题 经典例子解析 例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。 例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B (1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长 例三、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置 例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？ 参考答案 例一：轴对称平移 例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P 例三：C 例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点 例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置
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