当前位置: > 热评

你知道哪些神奇的数字?

时间:2022-05-09 12:05:32 热评 我要投稿

题主提到了一个神奇的数 142857。 这个数的神奇之处在于,它的 2 倍到 6 倍是这 6 个数字的一个排列,并且如果把 142857 写两遍:142857142857, 则它的 2 倍到 6 倍 恰好是这 12 个数字中的连续 6 位:

142857*2=285714

142857*3=428571

142857*4=571428

142857*5=714285

142857*6=857142

看起来特别神奇是吧?拥有这种性质的数我们称之为 “走马灯数”,其性质就像下图那样:

“走马灯数”看起来是如此神奇,直觉告诉我们,这样的数非常罕见,然而,真的是这样吗?

我们注意到,142857*7=999999,而这,正是走马灯数的奥妙所在。

如果你学过极限,应该会认同 1=0.99999999……而 142857*7=999999,意味着 142857 正是 1/7 的循环节。相信对于学过数学的人来说,竖式计算一定不陌生,就像下图所示:

参见图中的彩色数字,我们发现,在作除法的过程中,余数为 1~6 的情况恰好都出现了。

这就不难解释为什么 142857 的 2~6 倍都是循环节的一部分:因为任何不能被 7 整除的数,余数必然是 1~6 中的一个,因此必然会落入相同的循环劫中啊!

看到这里,我们恍然大悟:如果 1/n 在做竖式除法的过程中,余数恰好遍历了 1,2,……,n-1,那么其循环节必然也是“走马灯数”。

在数学上可以严格证明,这个性质等价于:当 p 为素数,且 10 为模 p 的一个原根时, 1/p 的循环节是 “走马灯数” (反过来其实也成立)。

著名的数列网站 OIES 给出了这样的一个数列(A001913):

数列的第一项就是大名鼎鼎的 7。第二项是 17,

1/17= 0.0588235294117647 (循环)

这就意味着: 588235294117647 也是一个“走马灯数”:

588235294117647 *2= 1176470588235294588235294117647 *3= 1764705882352941588235294117647 *4= 2352941176470588588235294117647 *5= 2941176470588235……

类似地,1/19, 1/23, 1/29…… 的循环节,也能产出对应的 “走马灯数”。

原本我们以为,像 142857 这样的走马灯数,是凤毛麟角,不可多得的,没想到,它其实也很常见啦!