已知x,y是锐角,且sin(x+y)=sin2x+sin2y,则有x+y=π/2.
这是一道俄罗斯数学竞赛题,昨天发了一个解答,但考虑到也未见得简便,就删除了,下面提供一种速解:
设△ABC中,外心为O(半径为R),A=x,B=y,C=π-(x+y),取AB的中点D,则D关于△ABC的重心坐标为D(1,1,0),由平面两点的距离公式
(林根等,中等数学,1998,4,p.18)
如果取Q为O,则有
(Σλ1)2R2=Σλ1λ2c2+(Σλ1)2OP2,①
则有
(1+1+0)2R2=c2+(1+1+0)2OD2,
4R2=c2+4OD2,②
由已知易见
2Rc=a2+b2,③
把③代入②即见
由题意A,B是锐角,则C≥π/2,则余弦定理知,a2+b2≤c2,
此代入④知,OD2≤0,所以O与D重合,则知C为Rt∠.
谢谢阅读!