本文内容选自2021年济南中考数学几何压轴题。以共底角顶点的两等腰直角三角形为背景，考查相似三角形的判定与性质。题目设计比较巧妙，值得研究。
【中考真题】
（2021·济南）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BDBC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】
（1）先猜测再证明，观察易得存在√2倍数的关系。BC与EC分别为AC与FC的√2倍，所以结论易得。
（2）①通过观察，可以发现结论并没有发生变化。但是此时形状发生了变化，应该怎么证明呢？通过观察BE与AF所在的三角形，可以发现△BEC∽△AFC，进而得到结论即可。本质就是相似三角形的判定与性质。
②先猜测再证明。观察先猜测四边形的形状，可能是平行四边形。由于相似的关系存在，因此容易得到∠CAF=∠ACE，进而得到AF与CE平行。如果可以证明AF与CE相等即可。也就是需要证明AF=√2EF。这也是本题的难点。
过点D作BF的垂线，可以得到一组A字型的相似，再在△BDE中利用三线合一进行处理，最终得到结论。
【答案】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，
∵BDBC，∴DE＝BDBC，∴BD＝DE＝EC，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝∠BAC＝90°，∵∠ECF＝∠BCA＝45°，∴△ABC∽△FEC，∴，∴，∵BCAC，∴，∴，即，∴·；（2）①仍然成立.理由如下：如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝45°，，∴∠ECF＝∠BCA，，∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠ACF＝∠BCE，∵，∴△CAF∽△CBE，
∴，
∴仍然成立．
②四边形AECF是平行四边形．理由如下：如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BDBC，∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，∴△BDG∽△BCF，∴，∵BD＝DE，DG⊥BE，∴BG＝EG，∴BG＝EG＝EF，∵EF＝CF，∴CF＝BGBF，由①知，AFBEBGCF＝CE，∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠CAF＝∠ACE，∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．