我之前处理过一个类似的案件，也是被继承人去世以后有非婚生子女要求继承财产的案件。根据法律规定和我的时间经验，建议你方先按兵不动，然后视后续事情的发展采取相应的应对措施。
首先，先来说一下婚外私生子有没有继承权的问题。《民法典》第一千一百二十七条规定，子女和配偶以及父母属于第一顺序继承人。子女的范围包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有继承关系的继子女。根据上述规定，如果对方真的是你大舅的非婚生子女，在法定继承的情况下，是第一顺序继承人，有权利要求分割你大舅的遗产。
其次，让我们先来看一下对方如果想要分割遗产需要具备什么条件。第一，必须是在法定继承的情况下。如果你大舅去世以前留有合法有效的遗嘱，把财产留给你舅妈或者他的婚生子女，那么对方在任何情况下都没权利要求分割财产。
第二，对方要想具备继承遗产的资格，必须提交证据证明他和你大舅具有父子关系。在你大舅去世的情况下，认定亲自关系最大的可能就是亲子鉴定。而想要进行亲子鉴定就必须获得你大舅的身体检材，你们可以考虑在这方面阻止他。
根据现在的情况来看，只要你们否认对方是你大舅的子女，那么他们就必须提供证据来证明亲子关系的存在。因此，应该着急的是对方而不是你们，你们现在只要处理好你大舅的后事然后抓紧进行遗产分割就可以了。如果对方来找你们，你们就说不认可对方是你大舅儿子的事实就可以了。剩下的事，让他们去想办法证明吧。
就算他们起诉你要求继承遗产也不要害怕，如果特们没有亲子关系的证据，法院不会支持他的诉讼请求。如果他们手里有亲子关系的证据，法院就只会支持他应得的份额，不会多分。
以上，希望能够对你有所帮助。我是榨汁小二郎，有任何法律问题都可以关注并私信我，我会尽快回答。