序言
自序
1.教学法的颠倒：序言一般是成书后所写，却放在最前；就如一些数学概念的定义明明是最后所得，却在一开始就给出。
昱见：很多知识明明是归纳的，却偏要用演绎法陈述。
2.细节研究与教育哲学论证：昱见：实证主义风行的当下研究界，似乎深陷数据之海难以自拔；我们的研究不能没有实证，不能没有精细的数据，但更不能只有这些，我们还需要并且首先需要教育哲学的指引和带给我们通透感。
编译者序
1.数学是系统化的常识：常识——被提炼和组织成法则——法则成为更高层次的常识——再被提炼和组织成新的法则……循环上升。
2.再创造是学习数学的方法。VS教学法的颠倒
第一章 数学的传统1.数学的古老。2.古老的古巴比伦数学便有非功利性发展，而这通常被看作是古希腊数学的传统；数学是有用的，数学也是智力的磨刀石！古埃及也出现同样的现象，数学的发展迅速超越现实实用需要。3.古代数学在天文学中的应用，后者极具实用性。4.古希腊数学受到古巴比伦数学比后人所熟知的要多得多的影响，前者的贡献在于，他们把后者发明的证明变成了数学中的一条原则，并把数学编写成演绎体系。
5.亚里士多德：任何真正的科学都始于原理，以原理为基础，由此推导出一切结果。这样的科学便是一个演绎的体系。
昱见：我们总是不自觉地将习见的东西隐去，而聚焦那些我们不熟悉的。读书时会这样，做笔记时尤其如此。比如，我就漏掉了序言里关于“数学化”的论述。这是认知的规律，会在已有认知结构基础上继续构建，“已有的”便是习见的，可省略的。读书是主观行为。6.固步自封的古希腊数学在发现无理数这样巨大的机遇面前自我驱逐自我抛弃，用严密性自杀。后话是数学空白后的严密性重建。7.封闭的桎梏总会被打破，笛卡尔的解析几何几何代数化，牛顿和莱布尼兹的微积分为数学的发展。8.数学与物理世界的分离，导致一种思潮，对运动排斥，固守静态的高贵。对这种思潮的摒弃则迎来数学的长足发展。9.数学具有超越性，超越现实，超越应用，超越时代。所以被称为自由的艺术，获此殊荣的其实是四艺：几何，算术，音乐理论，天文学。数学的特性即寻找各种思想模式，供人应用。思维的力量。10.代数的思想，引入新元素使计算获得封闭性，符号化。11.数学发展过程中在应用上的乏力产生了消极作用和后果。而文艺复兴时期数学的一度兴盛并非像人文主义学者所言是文艺复兴的影响结果，关键是技术，技术的发展为数学和科学的发展扫清了道路。
12.19世纪迎来应用数学的蓬勃发展，数学物理这个广阔领域得以开辟。数学在应用中得到巨大刺激，迅猛发展。数学起源于实用，倘若无用，数学就不存在了。
昱见：像本书这样的经典论著，需要反复阅读，一遍不行就两遍，再不行可以尝试三刷。事实证明，很多意义的获得正是在我个人十分不喜欢的“重读”中发生的。