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正交矩阵(正交矩阵,只是一个矩阵!)

正交矩阵,

只是一个矩阵!

不好意思,你们要的老大被我正交了。

谈起正交变换,不知道模友们是否记得之前一篇文章——如何通过心形线快速认识秩的几何意义?里面提到一位很牛逼的数学家费罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius,1849-1917)。

他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

没错,今天要讨论的就是他的贡献之一,正交矩阵与正交变换。

故事开始,先从代数角度理解一下正交矩阵。

其实很简单,我们找到两个相同的矩阵Q,它们一起睡觉,一个躺着睡(仰卧),一个翻转过来睡(俯卧),通过一晚上的成长,早上起来它们生出了一个简单又特殊的矩阵——单位矩阵(主对角线都是1,其余为0),因此就称Q为正交矩阵。

站在更高角度看,我们把n阶正交矩阵全体和矩阵乘法运算看成一个正交群,记作O(n)。如果这些正交矩阵的行列式恰好都是1,那就更特殊了(因为它们的娃单位矩阵行列式也是1,有种遗传性能的感觉),我们称之为特殊正交群,记作SO(n)。

下面我们举一个栗子,验证一下二维旋转矩阵是不是正交矩阵

它们一起睡觉,开始造人了

这样就得到了结论:旋转矩阵就是正交矩阵。

模友们可以通过简单运算判断下面这个矩阵是否是正交矩阵(看看谁能最快算出来)

我相信,中国的最强大脑在这里!

那接下来,再从几何角度理解一下正交变换。

先给出一个大家非常熟悉的定义:

这段比较通俗的正交变换解释出自于在同济大学的《线性代数》教材上(如果想不起来那有可能上课睡过去了

),当然,超模君觉得它十分不严格,如果要严格版本,就没有那么显然易懂了:

正交变换就是一个保持内积的线性变换φ,它从V映到V,其中V为实内积空间。具体的,对任意向量u,v∈V,我们有(其中(u,v)表示内积)。

我们也知道,正交变换能保持三角形形状不变,这让超模君想到了正交变换中的平移和旋转变换。

确实!通过平移或旋转,不会改变三角形的形状。

那正交变换的优良是什么梗?

那是因为它还有许多不变的性质,称之为忠心耿耿变换再好不过了。

点、线、面的全家福

点、线、面正是吃了正交变换这颗仙丹,使它们保持身体健康青春有活力:

正交变换把点变为点,直线(线段)变为直线(长度相等的线段),把平行线变为平行线,把共线(不共线)三点变为共线(不共线)三点;保持直线夹角不变,最下面三个图形经过正交变换后形状、大小完全不变(全等)。

多么漂亮优美的性质啊!试想一下,换成别的变换,哪怕是一个正方形,变换过去就面目狰狞,六亲不认了。

如果登场的是一个出身不菲的大佬……

怪形

怎么是凸的?看着不爽,我们先移动节点让它每两条直线都不香蕉

(相交)吧:

最强大脑现场

那么通过正交变换后,这个图形的形状和大小会改变吗?

没有思路?我们连几条辅助线就豁然开朗了:

好了,超模君要问一个问题了,原来的怪形,通过正交变换,形状也会不变吗?

最后来说说正交变换(矩阵)的应用。计算机中使用的软件工具无不离开强大的数学原理,图像处理也不例外,这在之前的特征向量文章中就有提及过。

用矩阵表示图像,构造正交均值差分变换矩阵,通过矩阵的乘法对原始图像进行正交变换,进一步取阈值,我们只存储绝对值大于阈值的系数(删去矩阵上一些系数),来实现数据图像的压缩。我们来看一组图片:

小猫原始图像及不同阈值下的解码图像

可以看到,虽然猫越来越模糊,但仍然不失真,不会把猫变成一只狗,通过最后一幅图片我们还是可以辨别它就是猫。

这让超模君想起了经常使用的动图压缩工具,如果动图时间越长,压缩出来的图像就越是av画质了,可以看到下面一张动图,压缩前是一个旋转,压缩后就像打雷一样。

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