聚热点 juredian

三线合一(“三线合一”性质的运用技巧)

等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线,只要知道其中一线,就可以说明是其它两线。

运用等腰三角形三线合一的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。

一、直接运用

例题1、如图所示,房屋顶角 ∠BAC = 100°,过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC,屋檐 AB = AC 。

求顶架上的 ∠B,∠C ,∠BAD 和 ∠CAD 的度数 。

例题1图

解:

∵ 在 △ABC 中 AB = AC , ∠BAC = 100° , AD⊥BC

∴ ∠B = ∠C =1/2(180° - ∠BAC)= 40°

∴ ∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC = 50°

例题2、如图所示,在 △ABC 中, AB = AC , AD = DB ,DE⊥AB 于点 E ,若 BC = 10 ,且 △BDC 的周长为 24 。

求 AE 的长 。

例题2图

解:

∵ △BDC 的周长为 24 ,BC = 10

∴ BD + CD = 14

∵ AD = BD

∴ AC = AD + CD = BD + CD = 14

又 ∵ AB = AC

∴ AB = 14

又 ∵ AD = DB , DE⊥AB

∴ AE = EB =1/2AB = 7

例题3、如图所示,在 △ABC 中 ,AB = AC , AD⊥BC 于点 D ,BE⊥AC 于点 E ,AD 和 BE 相交于点 H ,且 BE = AE 。

求证:AH = 2BD 。

例题3图

证明:

∵ AD⊥BC , BE⊥AC

∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°

∴ ∠EBC + ∠BHD = 90° , ∠EAH + ∠AHE = 90°

∵ ∠BHD = ∠AHE

∴ ∠EBC = ∠EAH

∵ BE = AE

∴ △AHE ≌ △BCE

∴ AH = BC

又 ∵ AB = AC , AD⊥BC

∴ BC = 2BD

∴ AH = 2BD

二、添加辅助线运用

例题4、如图所示,在等边 △ABC 中 ,D 是 AC 的中点 ,E 是 BC 的延长线上的一点,且 CE = CD ,DM⊥BC 于点 M 。

求证: M 是 BE 的中点 。

例题4图

证明:连接 BD

∵ 在等边 △ABC 中 , D 是 AC 的中点

∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC =1/2× 60° = 30° ,∠ACB = 60°

∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E

∵ ∠ACB = ∠CDE + ∠E

∴ ∠E =1/2∠ACB = 30°

∴ ∠DBC = ∠E = 30°

∴ BD = DE ∴ △BDE 为等腰三角形

又 ∵ DM⊥BC

∴ M 是 BE 的中点

三、构造运用

例题5、如图所示,在 △ABC 中 , AC = 2AB ,AD 平分 ∠BAC ,E 是 AD 上一点 ,且 EA = EC 。

求证:EB⊥AB 。

例题5图

证明:过点 E 作 EF⊥AC 于点 F

∵ EA = EC ∴ AF =1/2AC

又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE

又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB (SAS)

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° , 即 BE⊥AB 。

例题6、如图所示,已知在等腰直角 △ABC 中, AB = AC ,∠BAC = 90° ,BF 平分 ∠ABC ,CD⊥BD 交 BF 的延长线于点 D 。

求证:BF = 2CD 。

例题6图

证明:延长 BA , CD 交于点 E

∵ BF 平分 ∠ABC , CD⊥BD

∴ ∠EBD = ∠CBD ,∠BDE = ∠BDC = 90°

又 ∵ BD = BD

∴ △BDC ≌ △BDE

∴ BC = BE

又 ∵ BD⊥CE , ∴ CE = 2CD

∵ ∠BAC = 90° , ∠BDC = 90° , ∠AFB = ∠DFC

∴ ∠ABF = ∠DCF

又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°

∴ △ABF ≌ △ACE (ASA)

∴ BF = CE

∴ BF = 2CD

搜索建议:三线合一  三线合一词条  
热文

 一年一度的圣诞节作文

一年一度的圣诞节作文一年一度的圣诞节就要来到了,我们别提有多高兴了,更让我高兴的是在班干部的精心准备与组织下我们举办了一次快乐无比的圣诞狂欢会。星期四下午,我怀...(展开)