当前位置: > 热博

此题属于压轴题,求证四边形是正方形,难点是多次证明三角形全等

时间:2022-04-21 12:37:00 热博 我要投稿

例题:(初中数学综合题)如图,四边形ABCD内接于⊙O,且AB=AD,CB=CD,延长AB、DC交于E,∠AED的平分线交BC于P,交AD于K,延长AD、BC交于F,∠BFA的平分线交CD于H,交AB于G.求证:四边形GPHK是正方形.

正方形知识回顾

正方形的定义:正方形是特殊的平行四边形之一,即有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。

正方形的判定:对角线相等的菱形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一组邻边相等的矩形是正方形.

分析:要证明四边形GPHK是正方形,可以先证明其是平行四边形,再想办法证明其是菱形,再证明对角线相等,按照这三步走.先根据条件证明∠AKP=∠BPK,由此推出∠FKP=∠FPK,得出FK=FP,推出FG⊥EK,PS=SK,同理可证SG=SH.由PK⊥GH可以证明四边形GPHK是菱形,再证明PK=GH即可解决问题.

请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面,我们就按照以上思路来解答此题吧!

解答:(注意以下过程可以部分调整)

证明:∵四边形ABCD内接于⊙O,

∴∠EBP=∠EDK,

∵KE平分∠AED,

∴∠KED=∠KEA,

∵∠AKE=∠DEK+∠EDK,∠BPK=∠AEK+∠EBP,

∴∠AKE=∠BPK,

∴∠FKP=∠FPK,(等角的补角相等)

∴FP=FK,

∵FG平分∠PFK,

∴FG⊥PK,PS=SK,

同理可证SG=SH,

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

∴四边形GPHK是平行四边形,

∵PK⊥GH,

∴四边形GPHK是菱形,

∵AB=AD,CB=CD,

∴弧AB=弧AD,弧BC=弧CD,

∴弧ABC=弧ADC,

∴∠ABC=∠ADC=90°,

∵∠A=∠A,AB=AD,

∴△ADE≌△ABF(ASA),

∴AE=AF,∠AED=∠AFB,

∵∠AEK=1/2∠AED,∠AFG=∠SFP=1/2∠AFB,

∴∠AEK=∠AFG=∠SFP,

∴△AEK≌△AFG(ASA),

∴EK=FG,AK=AG,

∴EG=FK=FP,

∵∠ESG=∠FSP=90°,∠SEG=∠SFP,

∴△ESG≌△FSP(AAS),

∴SG=SP,

∴PK=GH,

∴四边形GPHK是正方形.

(完毕)

这道题属于综合题,考查了圆的相关知识,正方形的判定,全等三角形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形证明线段相等。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。