平行线的判定及其性质

　　提要
　　平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容，是进一步研究几何问题的基础，难点主要有两个方面：一个是“三线八角”识别，这是正确运用性质与判定的基础；另一个是性质与判定的区分。
　　知识全解
　　一平行线
　　（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用符号“”表示，在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
　　（2）基本性质
　　经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
　　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即ab，cb，那么ac。
　　二平行线的判定、
　　（1）同位角相等，两直线平行。
　　（2）内错角相等，两直线平行。
　　（3）同旁内角互补，两直线平行。
　　三平行线的性质
　　（1）两直线平行，同位角相等。
　　（2）两直线平行，内错角相等。
　　（3）两直线平行，同旁内角互补。
　　提示：平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系，而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下，得到两直线平行的结构。为了有效区分性质与判定，可记住下列口诀：“已知平行用性质，要证平行用判定”。
　　方法点拨
　　类型1判定两条直线位置关系
　　例1如果所示，PE平分BEF，PF平分DFE，135度，255度，AB与CD平行吗
　　【分析】由PE与PF分别为角平分线，得到两对角相等，根据1与2的度数，求出BEF与EFD的度数之和为180度，利用同旁内角互补两直线平行即可说明。
　　【解答】ABCD，理由如下：
　　PE平分BEF，PF平分DFE，135度，255度
　　1BEP12BEF，2PFD12EFD
　　BEF70度，EFD110度，即BEFEFD180度
　　ABCD
　　【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角，再判定。
　　类型2判定角度之间的关系
　　例2如图所示
　　E在直线DF上，B在直线AC上，若AGBEHF，CD，试判断A与F的关系，并说明理由
　　【分析】因为AGBDGF，AGBEHF，所有DGFEHF，则BDCE，CABD，又因为CD，所有DFAC，，所以DFAC，故AF
　　【解答】AF，理由如下
　　AGBDGF，AGBEHF
　　DGFEHF
　　BDCE
　　CABD
　　又CD
　　DABD
　　DFAC
　　AF
　　【点评】解答这类问题可采用两种思考方式，一种是根据条件逐步推出结论，另一种是根据结论逆向思考，寻求解答所需的条件，再结合已知条件解答。
　　类型3添加平行线求角度
　　例3如图所示，
　　ABEF，BCCD于C，ABC30度，DEF45度，则CDE等于（）
　　A。105度B。75度C。135度D。115度
　　【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直，还给出了两个具体角的大小，但与要求的角无直接关系，可考虑添加平行线将问题转化，过点C和D作平行线，将要求的角转化到两个已知角中。
　　【解答】过点C作CMAB，过点D作DNAB
　　又ABEF
　　ABCMDNEF
　　ABCM，ABC30度，则BCM30度
　　又BCCD，则BCD90度
　　MCDBCDBCM903060度
　　CMDN
　　MCD160度
　　DNEF
　　DEF245度，即CDE126045105度
　　故选A
　　【点评】熟练掌握平行线的条件和特征，并能灵活运用是求解本题的关键，充分运用条件，及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提。对于两条平行线间“折线”与“拐角”问题，一般是在拐点处作平行线，从而构造出一些相等的角或互补的角，将问题转化。